Аксонометрическое проецирование

Способ аксонометрического проецирования состоит в том, что данная фигура вместе с осями прямоугольных координат, к которым она отнесена в пространстве, параллельно проецируется на некоторую плоскость, принятую за плоскость аксонометрических проекций¹ (эту плоскость называют также картинной плоскостью).

¹ Аксонометрия — от древнегреческого «аксон» — ось, «метрио» — измеряю.

При параллельном проецировании, если направление проецирования перпендикулярно аксонометрической плоскости проекций, аксонометрическую проекцию называют прямоугольной; если направление проецирования не перпендикулярно плоскости проекций, аксонометрическую проекцию называют косоугольной. Применяемые в отечественной конструкторской документации аксонометрические проекции стандартизованы в ГОСТ 2.317—69.

Рассмотрим образование аксонометрической проекции на примере изображения параллелепипеда с квадратным основанием (рис. 6.1) путем последовательного преобразования его ортогональных проекций вместе с осями. При повороте параллелепипеда (а) с осями х и у вокруг оси z по стрелке А на 45° получаем его изображение (б) с повернутыми осями х₁ и у₁ и сохранившейся вертикальной осью z. При повороте изображения на профильной проекции с осями z, x₁, y₁ по стрелке Б на угол 30° получаем изображение (в) с осями z₁, x₂, y₂ расположенными под некоторыми углами к картинной плоскости π (π'"). Параллельная проекция (г) по стрелке В на плоскости л и является аксонометрической проекцией параллелепипеда с осями на плоскости π. Аксонометрическую плоскость при этом не обозначают (ею является плоскость бумаги).

Образование аксонометрической проекции

Проекции осей координат х⁰, у⁰, z⁰ на плоскости аксонометрических проекций называют аксонометрическими осями (в дальнейшем индекс «0» будет опускаться).

При различном взаимном расположении осей координат в пространстве и плоскости аксонометрической проекции и при разных направлениях проецирования можно получить множество аксонометрических проекций, отличающихся друг от друга направлением аксонометрических осей и масштабов по ним. Это положение доказано теоремой К. Польке. Рассмотрим некоторые из них.

Коэффициенты искажения

На рис. 6.2 изображена пространственная система ортогональных координат Ox, Oy, Oz, единичные отрезки е на осях координат и их проекция в направлении s на некоторую плоскость π, являющуюся аксонометрической плоскостью проекций. Проекции е_х, е_y, e_z отрезка е на соответствующих аксонометрических осях 0°x°, O°y°, O°z° в общем случае не равны отрезку е и не равны между собой. Отрезки е_x, е_y, e_z являются единицами измерения по аксонометрическим осям — аксонометрическими единицами (аксонометрическими масштабами).

Пространственная система ортогональных координат

Отношения

Коэффициент искажения по аксонометрическим осям

называют коэффициентами искажения по аксонометрическим осям.

В частном случае положение картинной плоскости можно выбрать таким, что аксонометрические единицы — отрезки е_х, е_у, e_z — будут все равны между собой или будет равна между собой пара этих отрезков.

При е_x = е_y = e_z (k = m = n) аксонометрическую проекцию называют изометрической; искажения по всем осям в ней одинаковы. При равенстве аксонометрических единиц по двум осям, обычно при е_х = e_z ≠ е_у (k = n ≠ m), имеем диметрическую проекцию. Если е_х = e_y ≠ е_z, то проекцию называют триметрической.

Картинная плоскость π на рис. 6.3 изображена так, что она пересекает все три координатные оси Ох, Oy, Oz в точках х, у, z соответственно. Рассмотрим прямоугольную аксонометрию. В этом случае отрезок ОО° перпендикулярен плоскости π. Отрезки О°х, О°у, O°z являются аксонометрическими проекциями отрезков Ох, Оу, Oz и представляют собой катеты прямоугольных треугольников гипотенузы которых — отрезки Ox, Oy, Oz. Обозначим углы между осями координат и их проекциями на плоскости π через α, β, γ.

Тогда

Картинная плоскость π