Содержание

Главная >> Математика 5 класс. Виленкин

§ 3. Умножение и деление натуральных чисел

11. Умножение натуральных чисел и его свойства

Если концертный зал освещается 3 люстрами по 25 лампочек в каждой, то всего лампочек в этих люстрах будет 25 + 25 + 25, то есть 75.

Сумму, в которой все слагаемые равны друг другу, записывают короче: вместо 25 + 25 + 25 пишут 25 • 3. Значит, 25 • 3 = 75. Число 75 называют произведением чисел 25 и 3, а числа 25 и 3 называют множителями.

Умножить число m на натуральное число n — значит найти сумму n слагаемых, каждое из которых равно m.

Выражение m • n и значение этого выражения называют произведением чисел тип. Числа тип называют множителями.

Произведения 7 числу 28 (рис. 46).

1. Произведение двух чисел не изменяется при перестановке множителей.

Это свойство умножения называют переместительным. С помощью букв его записывают так:

а • b = b • а.

Произведения (5 • 3) • 2 = 15 • 2 и 5 • (3 • 2) = 5 • 6 имеют одно и то же значение 30. Значит, 5 • (3 • 2) = (5 • 3) • 2 (рис. 47).

2. Чтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель.

Это свойство умножения называют сочетательным. С помощью букв его записывают так:

a • (b • с) = (а • b) • с.

Сумма п слагаемых, каждое из которых равно 1, равна n. Поэтому верно равенство 1 • n = n.
Сумма n слагаемых, каждое из которых равно нулю, равна нулю. Поэтому верно равенство 0 • n = 0.
Чтобы переместительное свойство умножения было верно при n = 1 и n = 0, условились, что m • 1 = m и m • 0 = 0.
Перед буквенными множителями обычно не пишут знак умножения: вместо 8 • х пишут 8x, вместо a • b пишут ab.
Опускают знак умножения и перед скобками. Например, вместо 2 • (а + b) пишут 2(а + b), а вместо (х + 2) • (у + 3) пишут (х + 2)(у + 3). Вместо (ab)c пишут dbc.

Когда в записи произведения нет скобок, умножение выполняют по порядку слева направо.

404. Представьте в виде произведения сумму:

а) 707 + 707 + 707;
б) 50 + 50 + 50 + 50 + 50 + 50;
в) х + х + х + x + x + x.

405. Представьте в виде суммы произведение:

а) 712 • 3;     в) (х + у) • 4;
б) а • 6;     г) (k + m + 4) • 2.

406. Вместо слов «представьте в виде произведения» говорят «разложите на множители».

Разложите всеми способами на два множителя число 12.

407. Сколько времени Борис решал 6 уравнений, если на каждое уравнение ему требовалось 2 мин 30 с?

408. Точка С лежит на отрезке АВ. Найдите длину отрезка АВ, если АС = 8 см, а длина отрезка СВ в 3 раза больше длины отрезка АС.

409. Отрезок АВ разбит на 17 отрезков, по 7 см каждый. Найдите длину отрезка АВ.

410. В двух ящиках лежат помидоры. Во втором ящике в 3 раза больше помидоров, чем в первом. Сколько помидоров в обоих ящиках, если в первом ящике 12 кг?

411. Серёжа старше своей сестры на 5 лет, но моложе отца в 3 раза. Сколько лет Серёже и сколько лет его отцу, если Серёжиной сестре 8 лет?

412. Найдите значение произведения:

413. Найдите значение выражения:

а) 305 + 305 + 305 + 305 + 73;
б) 615 + 615 + 125 + 125 + 125;
в) 2011 + 402 + 402 + 402 + 402 + 402;
г) 58 + 58 + 58 + 58 + 58 + 720 + 720.

414. Вместо звёздочек поставьте пропущенные цифры:

415. Выполните действия, применив сочетательное свойство умножения:

а) 50 • (2 • 764);     в) 125 • (4 • 80);
б) (111 • 2) • 35;     г) (402 • 125) • 8.

416. Вычислите, выбрав удобный порядок действий:

а) 483 • 2 • 5;     в) 25 • 86 • 4;
б) 4 • 5 • 333;     г) 250 • 3 • 40.

417. В магазин привезли 5 ящиков с красками. В каждом ящике 144 коробки, а в каждой коробке 12 тюбиков с красками. Сколько тюбиков привезли в магазин? Решите задачу двумя способами.

418. Столяр и его помощник должны сделать 217 рам. Столяр в день делает 18 рам, а его помощник — 13. Сколько рам им останется сделать после двух дней работы? четырёх дней работы? семи дней работы?

419. Для покраски двери требуется 800 г белил, а для покраски окна на 200 г меньше. Сколько белил потребуется, чтобы покрасить 3 окна и 4 двери?

420. Составьте выражение для решения задачи:

а) Построили 5 коттеджей по 80 м2 жилой площади и 2 коттеджа по 140 м2. Какова жилая площадь всех этих коттеджей?

б) Масса контейнера с четырьмя книжными шкафами 3 ц. Какова масса пустого контейнера, если масса одного шкафа 58 кг?

421. Привезли 12 ящиков яблок, по 30 кг в каждом, и 8 ящиков груш, по 40 кг в каждом. Какой смысл имеют следующие выражения:

а) 30 • 12;     в) 40 • 8;     д) 30 • 12 + 40 • 8;
б) 12 - 8;     г) 40 - 30;     е) 30 • 12 - 40 • 8?

422. Выполните действия:

а) (527 - 393) • 8;         г) 54 • 23 • 35;
б) 38 • 65 - 36 • 63;       д) (247 - 189) • (69 + 127);
в) 127 • 15 + 138 • 32;     е) (1203 + 2837 - 1981) • 21.

423. Запишите произведение:

а) 8 и х;     б) 12 + а и 16;     в) 25 - m и 28 + n;     г) а + b и m.

424. Укажите множители в произведении:

а) 3 m; в) 4ab;     д) (m + n)(k - 3);
б) 6(х + р);       г) (х - у) • 14; е) 5k(m + а).

425. Запишите выражение:

а) произведение m и n;
б) утроенная сумма а и b;
в) сумма произведений чисел бихи чисел 8 и у;
г) произведение разности чисел а и b и числа с.

426. Прочитайте выражение:

а) а • (с + d);      в) 3(m + n);      д) ab + c;
б) (4 - а) • 8;      г) 2(m - n);      е) m - cd.

427. Найдите значение выражения:

а) 8а + 250 при а = 12; 15;     б) 14(b + 12) при b = 13; 18.

428. Велосипедист ехал а ч со скоростью 12 км/ч и 2 ч со скоростью 8 км/ч. Сколько километров проехал велосипедист за это время? Составьте выражение для решения задачи и найдите его значение при а = 1; 2; 4.

429. Составьте выражение по условию задачи:

а) Из 6 книжных полок составлен шкаф. Высота каждой полки х см. Найдите высоту шкафа. Найдите значение выражения при х = 28; 33.

б) За один рейс автомашина МАЗ-25 перевозит 25 т груза. Сколько груза она перевезёт за k рейсов? Найдите значение выражения при k = 10; 5; 0.

430. Цена одного волейбольного мяча х р.,а баскетбольного мяча у р. Что означают выражения: Зx; 4у; 5х + 2у; 15х - 2у; 4(х + у)?

431. Составьте задачу по выражению:

а) (80 + 60) -7;      в) 28 • 4 + 35 • 5;
б) (65 - 40) -4;      г) 96 • 5 - 82 • 3.

432. На вершину холма ведут пять тропинок. Сколько существует способов подняться на холм и спуститься с него, если подниматься и спускаться по разным тропинкам?

433. Какое из произведений больше: 67 • 2 или 67 • 3? Объясните, почему это так. Объясните, почему 190 • 8 < 195 • 12. Сделайте вывод.

434. Не выполняя умножения, расставьте в порядке возрастания произведения:

56 • 24; 56 • 49; 13 • 24; 13 • 11; 74 • 49; 7 • 11.

435. Докажите, что:

а) 20 • 30 < 23 • 35 < 30 • 40;
б) 600 • 800 < 645 • 871 < 700 • 900;
в) 1200 < 36 • 42 < 2000;
г) 45 000 < 94 • 563 < 60 000.

436. Вычислите устно:

437. Какое число пропущено?

438. Восстановите цепочку вычислений:

439. Угадайте корни уравнения:

а) х + х = 64;      б) 58 + у + у + у = 58;      в) а + 2 = а - 1.

440. Придумайте задачу, которая решалась бы с помощью уравнения:

а) х + 15 = 45;      б) у - 12 = 18.

441. Сколько четырёхзначных чисел можно составить из нечётных цифр, если цифры в записи числа не повторяются?

442. Среди чисел 1, 0, 5, 11,9 найдите корни уравнения:

а) х + 19 = 30;        в) 30 + х = 32 - х;
б) 27-х = 27 + х;      г) 10 + х + 2 = 15 + х - 3.

443. Назовите несколько свойств луча. Какие из этих свойств есть у прямой?

444. Придумайте способ, с помощью которого можно быстро и просто вычислить значение выражения:

39 - 37 + 35 - 33 + 31 - 29 + 27 - 25 +...+ 11 -9 + 7- 5 + 3- 1.

445. Решите уравнение:

а) 127 + у = 357 - 85;      в) 144 - у - 54 = 37;
б) 125 + у - 85 = 65:     г) 52 + у + 87 = 159.

446. При каком значении буквы верно равенство:

а) 34 + а = 34;     г) 58 - d = 0;      ж) k - k = 0;
б) b+18 = 18;     д) m + 0 = 0; z) + = 0?
в) 75 - с = 75; е) 0 - n = 0;

447. Решите задачу:

а) В корзине несколько грибов. После того как из неё вынули 10 грибов, а затем в неё положили 14 грибов, в ней стало 85 грибов. Сколько грибов было в корзине первоначально?

б) У мальчика было 16 почтовых марок. Он купил ещё несколько марок, после этого подарил младшему брату 23 марки, и у него осталось 19 марок. Сколько марок купил мальчик?

448. Упростите выражение:

1) (138 + m) - 95;     3) (х - 39) + 65;
2) (198 + n) - 36;     4) (у - 56) + 114.

449. Найдите значение выражения:

1) 7480 - 6480 : 120 + 80;     2) 1110 + 6890 : 130 - 130.

450. Найдите значение выражения:

а) 704 + 704 + 704 + 704;     б) 542 + 542 + 542 + 618 + 618.

451. Представьте в виде суммы произведение:

а) 24 • 4;     б) k • 8;     в) (х + у) • 4;     г) (2а - b) • 5.

452. В магазин привезли 250 коробок, в каждой коробке по 54 пачки печенья. Какова масса всего печенья, если масса одной пачки 150 г?

453. В треугольнике АВС сторона АВ равна 27 см, и она больше стороны ВС в 3 раза. Найдите длину стороны АС, если периметр треугольника АВС равен 61 см.

454. Один станок-автомат производит 12 деталей в минуту, а другой — 15 таких же деталей. Сколько всего деталей будет изготовлено за 20 мин работы первого станка и 15 мин работы второго станка?

455. Выполните умножение:

а) 56 • 24;     в) 235 • 48;     д) 203 • 504;     ж) 2103 • 7214;
б) 37 • 85;     г) 37 • 129;     е) 210 • 3500;     з) 5008 • 3020.

456. С одной и той же станции в одно и то же время вышли в противоположных направлениях два поезда. Скорость одного поезда 50 км/ч, а другого 85 км/ч. Какое расстояние будет между поездами через 3 ч?

457. От деревни до города велосипедист ехал 4 ч со скоростью 12 км/ч. Сколько времени он потратит на обратный путь по той же дороге, если увеличит скорость на 4 км/ч?

458. Придумайте задачу по выражению:

а) 120 + 65 • 2;     б) 168 - 43 • 2;     в) 15 • 4 + 12 • 4.

459. Сравните, не вычисляя, произведения (ответ запишите с помощью знака <):

а) 245 • 611 и 391 • 782;      б) 8976 • 1240 и 6394 • 906.

460. Запишите в порядке возрастания произведения:

172 • 191;    85 • 91;    85 • 104;    36 • 91; 36 • 75;    172 • 104.

461. Вычислите:

а) (18 384 + 19 847) • (384 - 201 - 183);
б) (2839 - 939) • (577 : 577).

462. Решите уравнение:

а) (х + 27) - 12 = 42;       в) z - 35 - 64 = 16;
б) 115 - (35 + у) = 39;     г) 28 - t + 35 = 53.

463. Сосчитайте, сколько четвёрок и сколько пятёрок на рисунке 48, но только по особому правилу — считать нужно подряд и четвёрки, и пятёрки: «Первая четвёрка, первая пятёрка, вторая четвёрка, третья четвёрка, вторая пятёрка и т. д.». Если сразу не удастся сосчитать, возвращайтесь к этому заданию ещё и ещё раз.