Содержание

Главная >> Математика 5 класс. Виленкин

§ 4. Площади и объёмы

17. Формулы

Задача 1. Велосипедист едет со скоростью 15 км/ч. Какое расстояние он проедет за 4 ч?

Р е ш е н и е. Чтобы узнать, сколько километров проедет велосипедист, надо умножить его скорость на время пути, то есть найти произведение 15-4. Получаем, что путь равен 60 км.

Запишем правило нахождения пути по скорости и времени движения в буквенном виде. Обозначим путь буквой s, скорость — буквой и время — буквой t. Получим равенство s = t.
Это равенство называют формулой пути.

Запись какого-нибудь правила с помощью букв называют формулой.

По формуле пути можно решать различные задачи.

Задача 2. Автомобиль движется со скоростью 60 км/ч. За какое время он пройдёт путь в 600 км?

Р е ш е н и е. Заменим в формуле s = t буквы s и и их значениями: s = 600, = 60. Получим уравнение: 600 = 60t. Из него находим, что t = 600 : 60, то есть t = 10. Значит, чтобы проехать 600 км, автомобиль должен двигаться 10ч.

Задача 3. С какой скоростью должен идти человек, чтобы пройти 24 км за 4 ч?

Р е ш е н и е. Заменим в формуле s = t буквы s и t их значениями: s = 24, t = 4. Получим уравнение: 24 = • 4, то есть 24 = 4. Решив уравнение, получим: = 6. Значит, человек должен идти со скоростью 6 км/ч.

674. Найдите по формуле s = t путь, пройденный:

а) со скоростью 96 м/мин за 25 мин;
б) со скоростью 7 км/ч за 6 ч.

675. Найдите по формуле пути значение скорости , если:

а) t= 12 ч,    s = 240 км;
б) t = 5 с,    s = 15 м.

676. Найдите по формуле пути значение времени t, если:

а) s = 64 км,    = 8 км/с;
б) s = 132 км,    = 12 км/ч.

677. Запишите формулу для вычисления периметра прямоугольника, если буквами а и b обозначены длины сторон прямоугольника, а буквой Р его периметр. Вычислите по этой формуле:

а) периметр Р прямоугольника, если его стороны а = 4 дм и b = 3 дм;
б) сторону прямоугольника, если его периметр равен 30 см, а другая сторона — 7 см.

678. Запишите формулу для вычисления периметра Р квадрата, сторона которого а. Вычислите по этой формуле:

а) периметр квадрата со стороной 9 см;
б) сторону квадрата, периметр которого 64 м.

679. Запишите в виде формулы правило нахождения делимого а по делителю b, неполному частному g и остатку r. По этой формуле найдите:

а) делимое а, если неполное частное равно 15, делитель — 7 и остаток — 4;
б) делитель b, если а = 257, g = 28, r = 5;
в) неполное частное g, если а = 597, b = 12, r = 9.

680. С одной станции в противоположных направлениях вышли два поезда в одно и то же время. Скорость одного поезда 50 км/ч, а скорость другого поезда 70 км/ч. Какое расстояние будет между ними через t часов после отправления в путь? Запишите ответ в виде формулы и упростите её. Что означает число 120 в получившейся формуле?

681. Расстояние между двумя городами 600 км. Навстречу друг другу из этих городов вышли одновременно две автомашины. Одна имеет скорость 60 км/ч, а другая — 40 км/ч. Чему равно расстояние между машинами через t часов после выезда? Запишите ответ в виде формулы и упростите её. Какой смысл имеет число 100 в получившейся формуле?

682. Первая черепаха догоняет вторую. Скорость первой черепахи 130 см в минуту, а скорость второй — 97 см в минуту. Сейчас расстояние между ними 198 см. Чему будет равно расстояние между черепахами через t мин? Запишите ответ в виде формулы и упростите её. Какой смысл имеет число 33 в этой формуле? Через сколько минут первая черепаха догонит вторую?

683. Расстояние между сёлами Ивановка и Дятьково равно 90 км. Из Ивановки в Дятьково выехал велосипедист со скоростью 10 км/ч. Напишите формулу, выражающую расстояние s от велосипедиста до Дятьково через t часов после его выезда.

684. Вычислите устно:

685. Восстановите цепочку вычислений:

686. Найдите квадраты чисел 2; 5; 7; 8; 10; 20. Найдите кубы чисел 2; 3; 5; 10; 30.

687. Квадрат какого числа равен 4; 16; 36; 81; 900? Куб какого числа равен 1; 8; 64; 125; 27000?

688. Вычислите наиболее простым способом:

а) 4 • 19 • 25;      г) 50 • 75 • 2;
б) 8 • 15 • 125;     д) 16 • 47 • 125;
в) 250 • 35 • 8;    е) 40 • 8 • 25 • 125.

689. Изменится ли частное двух чисел, если:

а) делимое увеличить в 2 раза; в 3 раза;

б) делимое и делитель увеличить в одинаковое число раз? Приведите примеры.

690. Расскажите, в каком порядке надо выполнять действия при нахождении значения выражения:

а) 23 • 8² - 15 • 3³ + 1734 : 17;
б) 5 • 11³ - 4 • (76 + 13² • 5).

691. Попробуйте найти число, квадрат которого оканчивается цифрой 0; 6; 5; 7. Какой цифрой может оканчиваться квадрат числа? куб числа?

692. Машина двигалась 4 ч со скоростью а км/ч и 3 ч со скоростью b км/ч. Какой путь прошла машина за эти 7 часов?

Составьте выражение для решения задачи и найдите его значение при: а = 40, b = 30; а = 30,b= 40; а = 60, b = 70.

693. Найдите значение выражения:

а) З2 + 42;      в) (92 - 42) : (9 - 4);
б) (42 + 1 )2;    г) (83 + 73) : (82 - 72).

694. Семье, состоящей из бабушки, папы, мамы, дочери и сына, подарили 5 разных чашек. Сколькими способами можно разделить чашки между членами семьи?

Р е ш е н и е. У первого члена семьи (например, бабушки) есть 5 вариантов выбора, у следующего (пусть это будет папа) остаётся 4 варианта выбора, следующий (например, мама) будет выбирать уже из 3 чашек, следующий — из двух, последний же получает одну оставшуюся чашку. Покажем эти способы на схеме.

Получили, что каждому выбору чашки бабушкой соответствует четыре возможных выбора папы, т. е. всего 5 • 4 способов. После того как папа выбрал чашку, у мамы есть три варианта выбора, у дочери — два, у сына — один, т. е. всего 3 • 2 • 1 способов. Окончательно получаем, что для решения задачи надо найти произведение 5 • 4 • 3 • 2 • 1.

Заметим, что получили произведение всех натуральных чисел от 1 до 5. Такие произведения записывают короче:

5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 5! (читают: «пять факториа́л»)

Итак, ответ задачи: 5! = 120, т. е. чашки между членами семьи можно распределить ста двадцатью способами.

695. Толя начал читать книгу, когда Серёжа прочитал уже 24 страницы такой же книги. Догонит ли Толя Серёжу через 5 дней, если будет читать в день 18 страниц, а Серёжа — 12?

696. Начертите координатный луч. Отметьте на нём точки А(5), 5(7), С(0) и D(3). Чему равна длина (в единичных отрезках) отрезков АВ, CD, AD?

697. Через точки Р и К проведите прямую и отметьте на ней точки С и D так, чтобы точка D лежала между Р и К, а точка Р — между С и D.

698. Докажите, что:

а) 600 < 23 • 35 < 1200;     б) 2400 <47 • 62 < 3500.

699. Решите задачу:

1) Бронза содержит (по массе) 41 часть меди, 8 частей олова и 1 часть цинка. Какова масса куска бронзы, если в ней олова меньше, чем меди, на 132 г?

2) Дюралюминий — сплав, состоящий из 83 частей алюминия, 5 частей меди, 1 части марганца и 1 части магния (по массе). Какова масса куска дюралюминия, если в нём меди больше, чем магния, на 84 г?

700. Массу М товара с упаковкой (её называют массой бру́тто) определяют так: вычисляют массу товара (она называется массой не́тто) и прибавляют к ней массу р упаковки. Запишите это правило в виде формулы, если масса одного изделия m и в упаковке n изделий. Найдите по этой формуле массу брутто ящика чая, в котором 50 пачек чая, по 100 г каждая, а масса ящика 1 кг.

701. Найдите по формуле пути:

а) значение s, если = 12 км/ч, t = 3 ч;
б) значение t, если s = 180 м, = 15 м/с.

702. Найдите по формуле для нахождения периметра прямоугольника:

а) периметр Р, если а = 15 см, b = 25 см;
б) сторону а, если Р = 122 м, b = 34 м.

703. Периметр квадрата 144 м. Найдите его сторону.

704. Сплав состоит из 19 частей алюминия и 2 частей магния (по массе). Какова масса сплава, если в нём магния на 34 кг меньше, чем алюминия?

705. Митя собрал в 3 раза больше грибов, чем Петя. Подсчитав все собранные грибы, они увидели, что набрали 48 подосиновиков и подберёзовиков, а белых грибов — 8. Сколько грибов собрал каждый из мальчиков?

706. Отец старше сына на 20 лет, а сын моложе отца в 5 раз. Сколько лет отцу и сколько лет сыну?

707. Решите уравнение:

а) (Зх + 5х) • 18 = 144;    в) (6а + а) : 13 = 14;
б) (7у - Зу) : 8 = 17;       г) 48 : (9b - b) = 2.

708. Выполните действия:

а) 183 340 : 89 • 104;     б) 102 720 : 96 • 203.