Содержание

Главная >> Колебания и волны. Физика 11 кл. Мякишев

Глава 1. Механические колебания

§ 1.13. Примеры решения задач (окончание)

Задача 3

Два математических маятника, длиной l каждый, связаны невесомой пружиной (рис. 1.28). Жесткость пружины равна k. При равновесии маятники занимают вертикальное положение, и пружина недеформирована. Определите частоты малых колебаний двух связанных маятников в случаях, когда маятники отклонены в одной плоскости на равные углы в одну сторону (колебания в фазе) и в противоположные стороны (колебания в противофазе).

Решение. Отклоним оба маятника от вертикали в одну и ту же сторону на одинаковый угол. Пружина при таком отклонении не будет деформирована. Легко сообразить, что отпущенные из этого положения маятники будут колебаться в фазе с частотой

При отклонении в разные стороны на одинаковые углы колебания маятников будут происходить в противофазе, и пружина будет деформироваться. Для того чтобы подсчитать частоту этих колебаний, найдем силу, возвращающую маятники в положение равновесия. При отклонении на угол φ модуль силы, действующей со стороны пружины на тело массой m, согласно закону Гука равен F_y = k'Δl. Но жесткость половины пружины k' = 2k, а растяжение этой половины Δl = l sin φ. Следовательно,

F_y = 2kl sin φ.

Сумма проекций силы тяжести и силы упругости на касательную к окружности (обозначим ее через F) равна:

F = mg sin φ + 2kl sin φ cos φ

(рис. 1.29). Так как при малых углах cos &phi ≈ 1, то

Для математического маятника эта проекция равна mg sin φ. При этом частота колебаний при малых углах φ определяется формулой В нашем случае роль g играет величина Следовательно,

Задача 4

Два неподвижных точечных заряда +q₀ расположены в точках B и С на расстоянии r друг от друга. Вдоль оси симметрии системы этих зарядов может перемещаться шарик массой m, несущий точечный заряд —q (рис. 1.30). Считая смещение отрицательного заряда от прямой ВС, соединяющей положительные заряды, малым по сравнению с r, определите период Т колебаний отрицательного заряда.

Решение. Направим ось X вдоль оси симметрии системы данных зарядов (рис. 1.31), а начало координат совместим с серединой отрезка ВС. Сместим заряд -q на небольшое расстояние ОА = х от положения равновесия О. Тогда на заряд —q со стороны зарядов +q₀ начнут действовать силы ₁ и ₂, стремящиеся вернуть заряд —q снова в положение равновесия. Проекция равнодействующей 1.1 этих сил на ось X равна:

F_х = -2F₁ sin α.                     (1.13.9)

Так как угол а мал, то

Модуль силы ₁ найдем по закону Кулона:

Смещение х — малая величина, а х² — величина второго порядка малости и ею можно пренебречь. Следовательно,

Заменив в выражении (1.13.9) F₁ и sin α их значениями, получим:

Согласно второму закону Ньютона

Уравнение (1.13.11) описывает гармонические колебания, совершающиеся с циклической частотой

Отсюда период колебаний отрицательного заряда будет равен:

Задача 5

Сложите гармонические колебания:

Определите амплитуду В и начальную фазу φ₀ результирующего колебания.

Решение. Приведем данные в условии задачи уравнения к виду

и построим векторную диаграмму (рис. 1.32). На векторной диаграмме модуль вектора — амплитуда результирующего колебания. Она равна

Из этой же векторной диаграммы находим, что

<<< К началу параграфа