§ 4.20. Примеры решения задач

При решении задач на механические волны нужно использовать формулы главы «Механические колебания» и формулы данной главы «Механические волны. Звук». Часто применяется выражение для скорости волны через частоту колебаний и длину волны: υ = νλ. Надо знать уравнение бегущей волны (4.5.4 и 4.5.7) и стоячей волны (4.6.3).

При определении собственных частот колебаний тела по формуле (4.7.2) следует иметь в виду, что она справедлива, в тех случаях, когда оба конца колеблющегося тела либо закреплены, либо свободны.

Необходимо помнить условия возникновения интерференционных максимумов и минимумов, а также законы отражения и преломления волн. При решении некоторых задач нужно будет использовать законы механики Ньютона.

Задача 1

Исходя из сопоставления единиц физических величин, определите скорость распространения волн на поверхности жидкости с учетом только силы тяжести (длинные гравитационные волны). Предполагается, что глубина жидкости в сосуде Н >> λ и амплитуда колебаний частиц в волне s_m << lambda; (λ — длина волны).

Решение. Скорость распространения волн, о которых идет речь в данной задаче, определяется силой тяжести. Сила тяжести характеризуется ускорением свободного падения g, которое выражается в метрах на секунду в квадрате.

Чтобы получить выражение для скорости, единица которой метр в секунду, нам надо ввести характерную величину, имеющую размерность длины, т. е. выражающуюся в метрах. Такой величиной является только длина волны, поскольку глубина сосуда очень велика, а амплитуда колебаний частиц в волне очень мала.

Из величин g и λ можно сконструировать величину, выражающуюся в метрах на секунду, единственным образом, а именно: где k — безразмерный коэффициент. Теоретические расчеты показывают, что

Задача 2

Определите скорость распространения продольной упругой волны малой амплитуды в стальном стержне.

Решение. Для того чтобы возбудить в стержне продольную волну, надо произвести удар по его торцу (рис. 4.46). В результате стержень деформируется на величину Δl = и Δt, где u — скорость, приобретенная частицами стержня при ударе, Δt — время удара (время действия силы ).

За время Δt фронт возбужденной при деформации стержня продольной волны переместится на расстояние l = υΔt, где υ — скорость распространения продольных волн. Следовательно, за время Δt в колебательное движение приходит часть стержня массой Δm = ρV = ρSl = ρSυΔt, где S — площадь поперечного сечения стержня.

По второму закону Ньютона

FΔt = Δ(mu) = Δmu = ρSυuΔt,

или

F = ρSuυ, (4.20.1)

где ρ — плотность стали.

Согласно закону Гука имеем:

где Е — модуль Юнга.

Отсюда

Сравнивая выражения (4.20.1) и (4.20.2), получим:

Взяв из таблиц значения для модуля Юнга Е = 2,1 • 10¹¹ Па и ρ = 7,8 • 10³ кг/м³, определим υ = 5,2 • 10³ м/с.

Задача 3

Определите скорость распространения v поперечной волны в струне, площадь поперечного сечения которой S, если модуль силы ее натяжения можно считать постоянным*, а плотность вещества, из которого изготовлена струна, равна ρ.

* Натяжение можно считать постоянным при малой амплитуде волны.

Решение. Рассмотрим малый элемент струны длиной А1, находящийся на гребне волны (рис. 4.47). Равнодействующая сил натяжения, действующих на этот элемент, направлена вниз (см. рис. 4.47) и равна по модулю:

F_p = Fα.

Выберем систему отсчета, движущуюся со скоростью распространения волны вдоль струны. В этой системе отсчета любой элемент струны движется со скоростью Считая, что малый элемент струны имеет форму дуги окружности радиусом R, получим, что ускорение этого элемента равно:

Окончание параграфа >>>