Найдем уравнение, описывающее колебательный процесс в любой точке пространства при распространении гармонической волны. Для определенности будем рассматривать волну, бегущую по длинному тонкому резиновому шнуру.
Ось X направим вдоль шнура, а начало отсчета свяжем с левым концом шнура (см. рис. 4.11). Смещение любой колеблющейся точки шнура от положения равновесия обозначим буквой S. Для описания волнового процесса необходимо знать значение S в любой точке шнура в любой момент времени, а следовательно, знать вид функции s = s(x, t).
Заставим конец шнура (точка х = 0) соверпгать гармонические колебания с частотой ω. Колебания этой точки будут происходить по закону
если начальную фазу колебаний считать равной нулю. Здесь sm — амплитуда колебаний (рис. 4.14, а).
Рис. 4.14
Колебания распространяются вдоль шнура (оси X) со скоростью v и в произвольную точку шнура с координатой х придут спустя время
Эта точка также начнет совершать гармонические колебания с частотой ω, но с запаздыванием на время τ (рис. 4.14, б). Если пренебречь затуханием волны по мере ее распространения, то колебания в точке х будут происходить с той же амплитудой sm, но с другой фазой:
Это и есть уравнение бегущей волны*, распространяющ;ей-ся в положительном направлении оси X. В случае, когда начальная фаза колебаний в точке x = 0 равна не нулю, а произвольной величине φ0, уравнение бегуньей волны запишется так:
Амплитуда колебаний sm называется амплитудой волны. Величину, стоящую под знаком синуса, называют фазой волны. В общем случае фаза волны равна:
Разумеется, вместо синуса при записи уравнения бегущей волны мы могли бы использовать и косинус. Замена синуса на косинус эквивалентна изменению начальной фазы на π/2.
Выражение (4,5.5) для фазы волны можно преобразовать, если выразить циклическую частоту колебаний ω через частоту v или период Т, а скорость волны v заменить ее значением согласно формуле (4.3.2). Для случая φ0 = 0 получим:
Уравнение (4.5.3) бегущей гармонической волны примет при этом форму:
В этой форме записи отчетливо видно, что функция s(x, t) обладает периодичностью двоякого рода. Она периодична по времени при фиксированном х (период равен периоду колебаний Т, см. рис. 4.14) и периодична по пространству при фиксированном моменте времени (период равен длине волны λ, см. рис. 4.11). Это означает, что при замене t ⇒ t + Т или x ⇒ x + λ смещение s от положения равновесия согласно уравнению (4.5.7) остается одним и тем же.
Итак, в бегущей волне все точки среды (участки шнура) совершают вынужденные колебания с одним и тем же периодом, но с различными фазами. Две точки с координатами х1 и х2 имеют разность фаз
При x2 - х1 = λ, разность фаз равна 2π. Точки колеблются синфазно. Если х2 - х1 = λ/2. О колебания происходят в противофазе.
Надо отметить, что строго гармонических волн не существует. Из-за неизбежных потерь механической энергии амплитуда колебаний постепенно уменьшается по мере распространения волны от источника возбуждения колебаний. Можно приближенно говорить о гармонической волне в том случае, когда затухание бегущей волны на одной длине волны очень мало и по всей длине шнура укладывается много длин волн. Уравнение (4.5.3) описывает процессы не только в поперечной волне, но и в продольной, например в длинном упругом стержне. При этом s(x, t) по-прежнему имеет смысл смещения колеблющихся частей стержня от положения равновесия. Эти смещения в продольной волне происходят вдоль направления распространения волны (оси X).
* Волна называется бегущей по той причине, что, как мы увидим в следующем параграфе, существуют и стоячие волны, у которых максимумы и минимумы колебаний не перемещаются с течением времени.