Главная >> Финансовый менеджмент

Процентные ставки и методы их начисления

6.3.4. Начисление процентов за дробное число лет

Довольно обыденными являются финансовые контракты, заключаемые на период, отличающийся от целого числа лет. В этом случае проценты могут начисляться одним из двух методов:

• по схеме сложных процентов

  

• по смешанной схеме (используется схема сложных процентов для целого числа лет и схема простых процентов — для дробной части года)

Поскольку , следовательно, наращенная сумма будет больше при использовании смешанной схемы. Можно показать, что при малых г наибольшая величина разности между (6.12) и (6,11) достигается при ƒ ≈ 0,5.

Пример

Банк предоставил кредит в размере 10 млн руб. на 30 мес. под 30% годовых на условиях ежегодного начисления процентов. Какую сумму предстоит вернуть банку по истечении срока?

Решение

По формуле (6.11): FVⁿ =10 • (1 + 0,3)^2+0,5 = 19,269 млн руб.
По формуле (6.12): FVⁿ = 10 • (1 + 0,3)² • (1 + 0,3 • 0,5) = 19,435 млн руб.

Таким образом, смешанная схема начисления процентов более выгодна для банка.

Возможны финансовые контракты, в которых начисление процентов осуществляется по внутригодовым подпериодам, а продолжительность общего периода действия контракта не равна целому числу подпериодов. В этом случае также возможно использование двух схем наращения исходной суммы Р:

1) схема сложных процентов

2) смешанная схема

Обращаем внимание читателя на то, что в приведенных алгоритмах показатели ω и ƒ имеют разный смысл. Так в формуле (6,12) ω означает целое число лет в n годах, а ƒ — дробную часть года и поэтому n = ω + ƒ, Однако в формуле (6.14) ω означает целое число подпериодов в n годах, а ƒ — дробную часть подпериода и поэтому . Иными словами, при пользовании этими формулами надо отдавать себе отчет в том, о каком базисном периоде идет речь.

Пример

Банк предоставил ссуду в размере 120 тыс, руб. на 27 мес. (т. е, 9 кварталов, или 2,25 года) под 16% годовых на условиях единовременного возврата основной суммы долга и начисленных процентов. Проанализировать, какую сумму предстоит вернуть банку при разных вариантах и схемах начисления процентов: (1) годовое; (2) полугодовое; (3) квартальное.

Решение

(1) Годовое начисление процентов

Продолжительность ссуды не является кратной продолжительности базисного периода, т. е. года. Поэтому возможно применение любой из схем, характеризуемых формулами (6.11) и (6.12) и значениями соответствующих параметров: n = 2,25 w = 2; ƒ = 0,25; r = 0,16

• При реализации схемы сложных процентов

  FV_n = P (1 + r)^ω+ƒ = 120 • (1 + 0,1б)^2,25 = 167,58 тыс. руб.

• При реализации смешанной схемы

  FV_n = Р (1 + r)^ω (1 + ƒr) = 120 • (1 + 0,1 б)² • (1 + 0,25 • 0,1б) = 167,93 тыс. руб.

  (2) Полугодовое начисление процентов

  Начисление процентов осуществляется по внутригодовым подпериодам, а продолжительность общего периода действия контракта не равна целому числу подпериодов. Следовательно, надо воспользоваться формулами (6.13) и (6.14), когда параметры формул имеют следующие значения: m = 2; ω = 4; ƒ = mn - ω = 2 • 2,25 - 4 = 0,5; r = 0,16.

• При реализации схемы сложных процентов

  

• При реализации смешанной схемы

  

  (3) Квартальное начисление процентов

  В этом случае m = 2; ω = 9; ƒ = 0, т. е. продолжительность ссуды равна целому числу подпериодов. Поэтому формулы (6.13) и (6.14) дают один результат:

  FV_n = 120 • (1 + 0,04)⁹ = 170,8 тыс. руб.

  Здесь фактически пользуемся обычной формулой наращения сложными процентами (6.6), в которой n = 9, a