Процентные ставки и методы их начисления

6.3.6. Эффективная годовая процентная ставка

Различными видами финансовых контрактов могут предусматриваться различные схемы начисления процентов. Как правило, в этих контрактах оговаривается номинальная процентная ставка, обычно годовая. Эта ставка, во-первых, не отражает реальной эффективности сделки и, во-вторых, не может быть использована для сопоставлений. Для того чтобы обеспечить сравнительный анализ эффективности таких контрактов, необходимо выбрать некий показатель, который был бы универсальным для любой схемы начисления. Таким показателем является эффективная годовая процентная ставка r_е, обеспечивающая переход от Р к FV_n при заданных значениях этих показателей и однократном начислении процентов.

Общая постановка задачи может быть сформулирована следующим образом. Задана исходная сумма Р, годовая процентная ставка (номинальная) r, число начислений сложных процентов m. Этому набору исходных величин в рамках одного года соответствует вполне определенное значение наращенной величины FV_t. Требуется найти такую годовую ставку r_е, которая обеспечила бы точно такое же наращение, как и исходная схема, но при однократном начислении процентов, т. е. при m = 1. Иными словами, схемы {Р, FV_t, r, m > 1} и {Р, FV₁ , r_e, m = 1} должны быть равносильными.

Из формулы (6.10) следует, что в рамках одного года

Из определения эффективной годовой процентной ставки следует, что

В левой части каждого из двух уравнений — одна и та же величина, а потому, приравнивая правые части уравнений, находим формулу взаимосвязи эффективной и номинальной ставок

Из формулы (6.18) следует, что эффективная ставка ге зависит от количества внутригодовых начислений, причем с ростом m она увеличивается. Кроме того, с помощью (6.18) для каждой номинальной ставки r можно найти соответствующую ей эффективную ставку; две эти ставки совпадают лишь при m = 1 Именно ставка r_е является критерием эффективности финансовой сделки и может быть использована для пространственно-временных сопоставлений.

Пример

Предприниматель может получить ссуду на условиях: 1) либо ежемесячного начисления процентов из расчета 26% годовых, 2) либо полугодового начисления процентов из расчета 27% годовых. Какой вариант более предпочтителен?

Решение

Относительные расходы предпринимателя по обслуживанию ссуды могут быть определены с помощью расчета эффективной годовой процентной ставки. Чем она выше, тем больше уровень расходов. По формуле (6.18)

вариант (1):

вариант (2):

Таким образом, вариант (2) является более предпочтительным для предпринимателя. Необходимо отметить, что принятие решения не зависит от величины кредита, поскольку критерием является относительный показатель — эффективная ставка, а она, как следует из формулы (6.18), зависит лишь от номинальной ставки и количества начислений.

Понимание роли эффективной процентной ставки чрезвычайно важно для финансового менеджера. Дело в том, что принятие решения о привлечении средств (например, банковской ссуды) на тех или иных условиях делается чаще всего исходя из приемлемости предлагаемой процентной ставки, которая в этом случае характеризует относительные расходы заемщика. В рекламных проспектах (непроизвольно или умышленно) внимание на природе ставки обычно не акцентируется, хотя в подавляющем числе случаев речь идет о номинальной ставке, которая может весьма существенно отличаться от эффективной ставки. Рассмотрим простейший пример.

Пример

Рассчитать эффективную годовую процентную ставку при развой частоте начисления процентов, если номинальная ставка равна 10%.

Решение

По формуле (6.18) имеем:

Смысл данных очевиден. Эффективность операции характеризуется не номинальной (т. е. объявленной) ставкой r, а соответствующей ей эффективной ставкой r_е, поскольку, в зависимости от частоты начисления, сумма уплачиваемого или получаемого вознаграждения (т. е. суммы начисленных процентов) будет меняться. Благодаря этому можно в известной степени вуалировать финансовые договоры, как об этом уже упоминалось в конце предыдущего раздела. Из таблицы видно, что только в случае однократного (в данном случае годового) начисления процентов номинальная и эффективная ставки совпадают. Если, например, предусматривается ежедневное начисление процентов, то для заемщика реальные затраты (плата за привлеченный капитал) составят не объявленные 10%, а 10,52%, т. е. будут гораздо выше.

Различие между двумя ставками может быть гораздо более разительным при заключении некоторых специальных кредитных договоров, например, при оформлении кредита на условиях добавленного процента. Сущность этого и подобных договоров будет подробно рассмотрена в гл. 22.

Математически можно показать, что при m > 1 справедливо неравенство r_е > r, которое следует и из финансовых соображений.

В финансовых соглашениях не имеет значения, какую из ставок указывать — эффективную или номинальную, поскольку использование как одной, так и другой дает одну и ту же (с любой точностью приближения) наращенную сумму. В США в практических расчетах применяют номинальную ставку, следовательно, формулу (6.10). В европейских странах, как правило, вначале определяют эффективную ставку r_е, соответствующую r, затем пользуются формулой FVⁿ = Р{ 1 + г_е)ⁿ.

Из формулы (6.18) следует, в частности, соотношение для определения номинальной ставки r, если в контракте указаны эффективная годовая процентная ставка r_е и число начислений сложных процентов m:

Пример

Определить номинальную ставку, если эффективная ставка равна 18% и сложные проценты начисляются ежемесячно.

Решение

Поскольку r_е = 0,18 и m = 12, то:

Таким образом, ежегодное начисление сложных процентов по ставке 18% годовых дает тот же результат, что и ежемесячное начисление сложных процентов по ставке 16,67%. Иными словами, эффективной ставке 18% годовых соответствует номинальная ставка 16,67% годовых с ежемесячным начислением процентов.