Содержание

Главная >> Математика 5 класс. Виленкин

§ 5. Обыкновенные дроби

22. Окружность и круг

Установим ножку циркуля с иглой в точку О, а ножку циркуля с грифелем будем вращать вокруг этой точки. Тогда грифель опишет замкнутую линию. Её называют окружностью (рис. 93). Окружность делит плоскость на две части. Ту часть плоскости, которая лежит внутри окружности (вместе с самой окружностью), называют кругом. Точку О называют центром и круга, и окружности. При построении окружности расстояние между концами ножек циркуля не изменяется. Поэтому все точки окружности одинаково удалены от её центра.

Отрезок ОА на рисунке 94 соединяет центр окружности с точкой А этой окружности. Его называют радиусом окружности (и круга). Все радиусы окружности равны друг другу. Отрезок АВ на рисунке 94 соединяет две точки окружности А и В и проходит через центр. Его называют диаметром окружности (и круга). Диаметр АВ состоит из двух радиусов: ОА и ОВ. Поэтому диаметр окружности вдвое длиннее её радиуса.

Диаметр делит круг на два полукруга, а окружность — на две полуокружности.

Точки А и В на рисунке 95 делят окружность на две части. Каждую из этих частей называют дугой окружности, а точки А и В — концами этих дуг.

В некоторых приборах шкалы располагаются на окружностях или дугах окружностей. На циферблате часов вся окружность разделена на 60 делений. Каждое деление соответствует одной минуте. Кроме того, циферблат часов разделён на 12 больших делений, каждое из которых соответствует одному часу (рис. 96).

850. Какие из точек, отмеченных на рисунке 97:

а) лежат на окружности;
б) лежат внутри круга;
в) не лежат на окружности;
г) лежат вне круга?

851. Отметьте в тетради точку О. Постройте окружность с центром в этой точке. Измерьте радиус окружности. Чему равен её диаметр?

852. Начертите окружность и отметьте на ней три точки А, В и С. Назовите дуги, на которые эти точки делят окружность.

853. Изобразите круг, радиус которого 3 см. Отметьте точку А внутри круга и точку В вне круга. Измерьте расстояние от центра круга до точки А и до точки В. Сравните эти расстояния с радиусом круга. Соедините точки А и В отрезком. Пересекается ли он с окружностью?

854. Начертите окружность с центром в точке О и радиусом 3 см 5 мм. Проведите прямую, которая пересекает окружность в точках М и К. На каком расстоянии от центра окружности находятся эти точки?

855. Начертите отрезок CD, равный 5 см. Проведите окружность с центром С и радиусом 3 см, а также другую окружность с центром D и радиусом 4 см. Обозначьте точки пересечения окружностей буквами А и В. Чему равны длины отрезков АС, СВ, DA и BD?

856. Начертите отрезок МР, равный 6 см. Найдите две точки А и В, которые находились бы на расстоянии 4 см от точки М и 5 см от точки Р.

857. Автомобиль приближается к городу, по улицам которого разрешается ехать со скоростью не более чем 60 км/ч. В кабине автомобиля установлен спидометр — прибор, показывающий скорость движения. Посмотрите на спидо́метр (рис. 98). Нарушит ли шофёр правила уличного движения, если не снизит скорость? На сколько и в какую сторону передвинется стрелка, когда скорость снизится до 50 км/ч? Каким будет показание спидометра, когда автомобиль остановится?

858. На рисунке 99 изображена шкала прибора, показывающего, сколько литров бензина осталось в баке автомобиля. Сколько литров бензина сейчас в баке? На сколько делений и в какую сторону передвинется стрелка прибора, если:

а) в бензобак нальют ещё 20 л бензина;
б) при движении будет израсходовано 30 л бензина?

859. Какое время показывают часы на рисунке 96? Какое время будут показывать часы, если минутную стрелку передвинуть:

а) назад на 3 больших деления; б) вперёд на 20 малых делений?

860. Вычислите устно:

861. Миллион уменьшили в 100 раз и результат уменьшили на тысячу. Сколько получили?

862. Укажите координаты точек A, В, С и D, если М (10) (рис. 100). Сравните координаты точек В и С; С и D.

863. Сколько сантиметров:

а) в четверти метра; в) в десятой доле метра;
б) в десятой доле дециметра; г) в двадцать пятой доле метра?

864. Сколько килограммов:

а) в десятой доле центнера; в) в двадцатой доле центнера;
б) в сотой доле тонны; г) в двадцатой доле тонны?

865. Представьте себе, что один куб с ребром 1 дм разрезали на кубики с ребром 1 см и из этих маленьких кубиков сложили башню, поставив их один на другой. Второй куб с ребром 1 дм разрезали на кубики с ребром 1 мм и из этих кубиков так же сложили башню. Какая из этих башен выше? Во сколько раз?

866. Проверьте, справедливы ли равенства:

1³ + 2³ = (1 + 2)²; 1³ + 2³ + 3³ + 4³ = (1 + 2 + 3 + 4)².
1³ + 2³ + 3³ = (1 + 2 + З)²;

Попробуйте рассказать, какова в этих равенствах зависимость между квадратами и кубами чисел. Проверьте, выполняется ли это свойство для пяти, шести чисел.

867. Найдите объём и площадь наружной поверхности бака без крышки, изображённого на рисунке 101. Сколько понадобится краски, чтобы покрасить этот бак снаружи и изнутри, если на покраску 1 дм² нужно 2 г краски? Сколько литров бензина можно влить в этот бак?

868. Сторона одного куба 9 см, а другого 5 см. На сколько объём первого куба больше объёма второго? На сколько площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго?

869. Найдите площадь фигуры, изображённой на рисунке 102. Площадь одной клетки 25 мм².

870. На одной чашке весов стоит банка с вареньем, а на другой — гиря в 1 кг. Весы находятся в равновесии. Сколько граммов варенья находится в банке, если пустая банка легче варенья в 4 раза?

871. Решите задачу:

1) На крыше дома сидели голуби. Когда к ним прилетели ещё 15 голубей, а 18 голубей улетели, то на крыше оказалось 16 голубей. Сколько голубей сидело на крыше первоначально?
2) Когда от товарного состава отцепили 6 вагонов, а прицепили к нему 19 вагонов, в нём стало 50 вагонов. Сколько вагонов было в составе первоначально?

872. Выполните действия:

1) (1 445 561 : 3587 - 208) • 356 - 3580;
2) (1 420 288 : 4672 + 259) • 234 - 1742.

873. В старину часто пользовались солнечными часами, они известны более 3000 лет. в солнечных часах время определяется по положению тени от наклонного стержня на циферблате (циферблат и стержень располагали так, чтобы в полдень тень от стержня была направлена на отметку 12 ч). Подумайте, что общего у солнечных часов (рис. 103) с современными, в чём их достоинства и недостатки.

874. Начертите круг с центром А и радиусом 2 см. Отметьте две точки:

а) лежащие на окружности;
б) лежащие внутри круга;
в) лежащие вне круга.

875. Отметьте две точки А и В так, чтобы АВ = 3 см. С помощью циркуля постройте ещё три точки С, D и Е, которые находились бы от точки А на расстоянии 3 см.

876. Отметьте две точки К и Р так, чтобы КР = 6 см. Постройте окружность с центром К и радиусом 5 см и окружность с центром Р и радиусом 4 см. Пересекаются ли эти окружности?

877. Отметьте точки О и ? так, чтобы ОЕ = 8 см. Постройте окружность с центром О и радиусом 2 см и окружность с центром Е и радиусом 4 см. Пересекаются ли эти окружности?

878. Решите уравнение:

а) (х - 152) • 59 = 6018;       г) 51 815 : (р - 975) = 1205;
б) 975 • (у - 361) = 14 625;     д) 13х + 15х - 24 = 60;
в) (30 142 + z) : 876 = 49;      е) 18у - 7у - 10 = 12.

879. Выполните деление с остатком числа 987 654 на 391.

880. Найдите объём фигуры, изображённой на рисунке 104. Объём каждого кубика 1 см³.

881. Масса 1 л бензина 650 г. В бензобак автомобиля входит 95 л бензина. Какова масса бензина в полном баке этой автомашины?

882. По формуле а = bq + r найдите число а, если делитель b равен 81, неполное частное q равно 561 и остаток r равен 23.

883. Найдите значение выражения:

а) 507 • 664 - 296 085;      в) 12³ + 5³ • 4;
б) 485 979 + 691 • 308;     г) (10³ + 8³) : 18.