Рассмотрим пример. Пусть V — объём железного бруска в кубических сантиметрах, m — его масса в граммах. Так как плотность железа равна 7,8 г/см3, то m = 7,8 V. Зависимость массы железного бруска от его объёма является примером функции, которая задаётся формулой вида у = kx, где х — независимая переменная, k — число, отличное от нуля.
Такую функцию называют прямой пропорциональностью.
Определение. Прямой пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида у = kх, где х — независимая переменная, k — не равное нулю число.
Число k в формуле у = kх называется коэффициентом прямой пропорциональности.
Из формулы у = kх, где k ≠ 0, находим, что если х1 и х2 — значения аргумента, причём x1 ≠ 0, х2 ≠ 0, а у1 и у2 — соответствующие им значения функции, то у1 = kх1, у2 = kх2. Отсюда
т. е. верна пропорция
С этим и связано название «прямая пропорциональность» в отличие от «обратной пропорциональности», с которой вы познакомитесь позже.
В повседневной жизни мы часто встречаемся с зависимостями между переменными, которые являются прямыми пропорциональностями.
Приведём примеры.
Пример 1. Путь s км, пройденный автомобилем за t ч с постоянной скоростью 70 км/ч, вычисляется по формуле s = 70t, где t > 0, т. е. зависимость s от t является прямой пропорциональностью.
Пример 2. Стоимость р товара в рублях по цене 15 р. за килограмм вычисляется по формуле
р = 15x,
где x — масса товара в килограммах. Зависимость р от x является прямой пропорциональностью.
Пример 3. Длина окружности С вычисляется по формуле
С = 2πr,
где r — радиус окружности, π — число, приближённо равное 3,14. Значит, зависимость С от r является прямой пропорциональностью (коэффициент пропорциональности здесь равен 2π).
Выясним, что представляет собой график прямой пропорциональности.
В качестве примера рассмотрим функцию у = 0,5x и построим график этой функции.
Область определения функции у = 0,5x — множество всех чисел. Составим таблицу соответственных значений переменных x и у для некоторых значений аргумента x:
Отметим в координатной плоскости точки, координаты которых номещеш,1 в таблице (рис. 22).
Рис. 22
Можно заметить, что все отмеченные точки принадлежат некоторой прямой, проходящей через начало координат. Проведём эту прямую. Получим график функции у = 0,5x (рис. 23).
Рис. 23
Рассуждая аналогично, можно построить, например, график функции у = -1,5x (рис. 24). Этот график, так же как и график функции у = 0,5x, является прямой и проходит через начало координат.
Рис. 24
Вообще,
график прямой пропорциональности представляет собой прямую, проходящую через начало координат.
Чтобы построить график функции у = kx, достаточно найти координаты какой-нибудь точки графика этой функции, отличной от начала координат, отметить эту точку и через неё и начало координат провести прямую.
Построим, например, график функции у = 1,5х. Пусть х = 2, тогда у = 3. Построим точку A (2; 3) и через неё и начало координат проведём прямую. Эта прямая является графиком функции у = 1,5х (рис. 25).
Рис. 25
Расположение графика функции у = kx в координатной плоскости зависит от коэффициента k. Из формулы у = kx находим, что если х = 1, то у = k. Значит, график функции у = kх проходит через точку (1; k). При k > 0 эта точка расположена в первой координатной четверти, а при k < 0 — в четвёртой. Отсюда следует, что при k > 0 график прямой пропорциональности расположен в первой и третьей координатных четвертях, а при k < 0 — во второй и четвёртой.
На рисунке 26 построены графики прямой пропорциональности при различных значениях k.
Рис. 26
Упражнения
Велосипедист движется равномерно со скоростью 12 км/ч. Напишите формулу, выражающую зависимость пройденного пути s (в километрах) от времени движения t (в часах). Является ли эта зависимость прямой пропорциональностью?
Является ли прямой пропорциональностью функция, заданная формулой:
Прямая пропорциональность задана формулой у = -х.
Найдите значение у, соответствующее ху равному -9; 0; 1; 4.
(Для работы в парах.) Задайте формулой прямую пропорциональность, график которой симметричен графику функции у - 9x:
а) относительно оси x; б) относительно оси у.
1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
2) Проверьте друг у друга правильность выполнения задания.
Постройте график функции, заданной формулой у = -0,5x. С помощью графика найдите:
а) значение у, соответствующее x, равному -2; 4; 1;
б) при каком x значение у равно -1; 0; 2,5.
Существует ли такое x, при котором у = -150? Если существует, то вычислите его.
Принадлежат ли графику функции у = -0,5x точки А(0; 1), B(—1; 0,5), С (2; -1), D(4; -2)?
Известно, что график прямой пропорциональности проходит через точку А(3; 21). Проходит ли этот график через точку В(-7; -49); точку С(-5; 3,5); точку D(0,8; -5,6)?
(Для работы в парах.) Покажите схематически, как расположен график функции, заданной формулой:
1) Распределите, кто выполняет задания а), б), а кто — задания в), г), и выполните их.
2) Проверьте друг у друга правильность выполнения заданий.
3) Обсудите, какой вид имеет график функции у = kх в заданиях д) и е).
Для каждого графика прямой пропорциональности, изображённого на рисунке 26, напишите соответствующую формулу.
Турист вышел из города и через x ч находился на расстоянии у км от него. Зависимость у от x показана в таблице:
В координатной плоскости отметьте эти точки и покажите с помощью линейки, что они расположены почти на прямой. Составьте формулу, которая приближённо выражает зависимость у от x.
На рисунке 27 построены графики движения пешехода (отрезок OB) и велосипедиста (отрезок OA).
Рис. 27
С помощью графиков ответьте на вопросы:
а) какое время был в пути пешеход и какое время — велосипедист;
б) какой путь проделал пешеход и какой путь проехал велосипедист;
в) с какой скоростью двигался пешеход и с какой — велосипедист;
г) во сколько раз путь, который проехал за 2 ч велосипедист, больше пути, пройденного за то же время пешеходом?
На рисунке 28 изображен график зависимости удлинения у стальной проволоки от силы F, под действием которой проволока растягивается.
Рис. 28
Укажите границы изменения силы Fy при которых зависимость удлинения проволоки от силы F является прямой пропорциональностью.
х.
;
.