Для этого составим их сумму, затем раскроем скобки и приведём в полученном многочлене подобные члены:
Вычтем из многочлена х3 + 5х2 - х + 8 многочлен х3 - 7х - 1.
Для этого составим их разность, раскроем скобки и приведём в полученном многочлене подобные члены:
Мы представили сумму многочленов 5х2 + 7х - 9 и -Зx2 - 6х + 8 в виде многочлена 2х2 + х - 1, а разность многочленов х3 + 5х2 - х + 8 и х3 - 7х - 1 в виде многочлена 5х2 + 6х + 9.
Вообще сумму и разность многочленов всегда можно представить в виде многочлена.
Иногда требуется решить обратную задачу — представить многочлен в виде суммы или разности многочленов. При этом пользуются правилом:
если перед скобками ставится знак «плюс», то члены, которые заключают в скобки, записывают с теми же знаками; если перед скобками ставится знак «минус», то знаки членов, заключаемых в скобки, меняют на противоположные.
Например:
Упражнения
а) Составьте сумму многочленов 4х3 - 5х - 7 и х3 - 8х и преобразуйте её в многочлен стандартного вида.
б) Составьте разность многочленов 5у2 - 9 и 7у2 - у + 5 и преобразуйте её в многочлен стандартного вида.
Даны два многочлена: 2а3 - 5а + 5 и а3 - 4а - 2. Упростите:
а) сумму этих многочленов;
б) разность первого и второго многочленов;
в) разность второго и первого многочленов.
Преобразуйте в многочлен стандартного вида:
Упростите выражение:
Преобразуйте в многочлен стандартного вида:
Найдите сумму и разность многочленов:
а) а + b и а - b;
б) а - b и а + b;
в) -а - b и а - b;
г) а - b и b - а.
Докажите, что:
а) сумма двух последовательных нечётных чисел кратна 4;
б) сумма четырёх последовательных нечётных чисел кратна 8.
Докажите, что выражение:
а) (х - у) + (у - z) + (z - х) тождественно равно 0;
б) (а2 - 5аb) - (7 - Заb) + (2аb - а2) тождественно равно -7.
Найдите многочлен, после подстановки которого вместо М следующее равенство окажется тождеством:
Какой многочлен в сумме с многочленом 5х2 - Зх - 9 тождественно равен:
Пусть х = 5а2 + баb - b2, у = -4а2 + 2аb + 3b2, z = 9а2 + 4аb. Подставьте эти многочлены вместо х, у и z в данное выражение и упростите его:
а) х + у + z;
б) х - у - z.
Решите уравнение:
Решите уравнение:
Представьте выражение в виде суммы каких-нибудь двучленов:
Представьте выражение каким-либо способом в виде разности одночлена и трёхчлена:
Известно, что при некоторых натуральных значениях п значение выражения n3 + n кратно 30. Будет ли кратно 30 при тех же значениях п значение выражения:
(Для работы в парах.) Докажите, что сумма:
а) трёх последовательных натуральных чисел кратна 3;
б) четырёх последовательных натуральных чисел не кратна 4.
1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
2) Проверьте друг у друга правильность выполнения преобразований.
3) Выскажите аналогичное предположение о сумме пяти последовательных натуральных чисел и проверьте, верно ли оно.
(Задача исследование.) В «Арифметике» Магницкого, написанной в начале XVIII в., предлагается такой способ угадывания задуманного двузначного числа: «Если кто задумал двузначное число, то скажи ему, чтобы он увеличил число десятков в 2 раза и к произведению прибавил 5 единиц; затем полученную сумму увеличил в 5 раз и к новому произведению прибавил 10 единиц и число единиц задуманного числа, а результат произведённых действий сообщил бы тебе. Если ты из указанного результата вычтешь 35, то узнаешь задуманное число».
1) Выберите двузначное число и проверьте предложенный способ угадывания задуманного числа.
2) Предложите соседу но парте задумать двузначное число, выполнить указанные в условии задачи действия и сообщить результат.
3) Найдите число, задуманное соседом.
4) Докажите справедливость способа отгадывания задуманного двузначного числа, предложенного в учебнике Магницкого.
Представьте выражение в виде одночлена:
С помощью калькулятора найдите значение выражения х2 - у, если х = 1,4, у = 0,157.
Контрольные вопросы и задания
Дайте определение многочлена.
На примере многочлена 5а2х + ах2 - 4ах • х объясните, как привести многочлен к стандартному виду.
Что называется степенью многочлена? Приведите пример многочлена третьей степени.
Составьте сумму и разность многочленов х2 - Зу + 6 и -х2 + 3y+1 и преобразуйте каждое выражение в многочлен стандартного вида.
В многочлене 5х2 - х + 4 заключите в скобки два последних члена, поставив перед скобками: а) знак «плюс»; б) знак «минус».