Вам неоднократно приходилось встречаться со случаями, когда при делении одного натурального числа на другое получается остаток. Например, при делении числа 143 на 7 в частном получается 20 и в остатке 3:
143 : 7 = 20 (ост. 3),
причём остаток 3 меньше делителя.
Если из 143 вычесть 3, то полученная разность будет делиться на 7:
143 - 3 = 7 • 20.
В том случае, когда одно натуральное число делится на другое без остатка, условились считать, что остаток равен нулю.
В
ообще число r называется остатком от деления натурального числа а на натуральное число b, если выполняются два условия: а - r делится на b и 0 ≤ r < b.
Определение остатка, принятое для натуральных чисел, переносится на случай, когда делимое является целым числом, а делитель — натуральным числом.
Целое число r называют остатком от деления целого числа а на натуральное число b, если разность а - r делится на b и 0 ≤ r < b.
Обозначив частное от деления а - r на b буквой q, получим, что
а - r = bq.
Отсюда
а = bq + r, где 0 ≤ r < b.
Например:
-13 = 5 • (-3) + 2, причём 0 ≤ 2 < 5.
Частное от деления числа -13 на 5 равно -3, а остаток равен 2.
При решении задач широкое применение находит следующее утверждение:
Для любого целого числа а и натурального b существует единственная пара целых чисел q и r, таких, что а = bq + r, где 0 ≤ r < b.
В справедливости этого утверждения можно убедиться, обратившись к координатной прямой. Пусть на координатной прямой отмечены числа, кратные b (рис. 69).
Рис. 69
Они разбивают координатную прямую на отрезки, концами которых являются точки с координатами bq и b(q +1), где q — целое число. Длина каждого из этих отрезков равна b. Произвольное число а изображается точкой, которая либо совпадает с левым концом отрезка, ограниченного точками с координатами bq и b(q + 1), либо находится внутри этого отрезка. В первом случае а = bq, т. е. а = bq + 0, а во втором а = bq + г, где 0 ≤ r < b. Таким образом, в любом случае найдётся единственная пара целых чисел q и г, такая, что а = bq + г, где 0 ≤ r < b.
На делении с остатком основаны различные разбиения множества целых чисел на классы, т. е. на подмножества, не имеющие общих элементов.
Например, при делении числа на 3 могут получиться остатки 0, 1 и 2. Соответственно множество целых чисел можно разбить на три класса:
множество чисел вида Зk,
множество чисел вида Зk + 1,
множество чисел вида Зk + 2,
где k — целое число.
Аналогично, исходя из остатков от деления целого числа на 5, множество целых чисел можно разбить на пять классов:
множество чисел вида 5k,
мнолсество чисел вида 5k + 1,
множество чисел вида 5k + 2,
множество чисел вида 5k + 3,
множество чисел вида 5k + 4,
где k — целое число.
Пример. Докажем, что если целые числа а и b дают при делении на 3 одинаковые остатки, не равные нулю, то число ab - 1 делится на 3.
Решение: По условию числа а и b дают при делении на 3 одинаковые остатки, не равные нулю. Значит, либо а = Зk + 1 и b = Зр + 1, либо а = 3k + 2 и b = Зр + 2, где k и р — целые числа.
В первом из этих случаев имеем
Во втором случае имеем
Таким образом, в каждом из рассмотренных случаев число ab - 1 делится на 3.
Упражнения
Найдите частное и остаток от деления:
а) 138 на 7;
б) -16 на 3;
в) -4 на 5.
Найдите наибольшее целое отрицательное число, которое при делении на 11 даёт остаток 1.
Укажите все целые числа а, удовлетворяющие двойному неравенству -12 < а < 12, которые при делении на 7 дают остаток 3.
Укажите наибольшее число воскресений в году.
При делении целого числа m на 35 в остатке получили 15. Делится ли число m на 5? на 7?
При делении натурального числа а на натуральное число b в частном получили сив остатке d. Могут ли все числа а, b, с и d быть нечётными?
Докажите, что если целые числа а и b при делении на 3 дают различные остатки (отличные от нуля), то число аb + 1 делится на 3.
Верно ли, что при любых целых значениях а и b произведение аb(а + b) (а - b) делится на 3?
При делении целого числа а на 12 получается остаток 5. Какой остаток получится при делении этого числа на 4?
Одно из двух целых чисел при делении на 9 даёт остаток 7, а другое даёт остаток 5. Какой остаток получится при делении на 9 их произведения?
Найдите целое число, которое как при делении на 5, так и при делении на 7 даёт остаток 1, причём первое частное на 4 больше второго.
Докажите, что произведение n(2n + 1)(7n + 1) делится на 6 при любом натуральном n.
