Учебник для 7 класса

Алгебра

38. Применение различных способов для разложения на множители

Для разложения многочленов на множители мы применяли вынесение общего множителя за скобки, группировку, формулы сокращённого умножения. Иногда удаётся разложить многочлен на множители, применив последовательно несколько способов. При этом начинать преобразование следует, если это возможно, с вынесения общего множителя за скобки.

Пример 1. Разложим на множители многочлен 10а³ - 40а.

Решение: Члены этого многочлена имеют общий множитель 10а. Вынесем этот множитель за скобки:

10а³ - 40а = 10а (а² - 4).

Разложение на множители можно продолжить, применив к выражению а² - 4 формулу разности квадратов. В результате получим в качестве множителей многочлены более низких степеней.

Имеем

10а(а² - 4) = 10а(а + 2)(а - 2).

Значит,

10а³ - 40а = 10а(а + 2) (а - 2).

Пример 2. Разложим на множители многочлен

ab³ - 3b³ + аb²у - Зb²у.

Решение: Сначала вынесем за скобки общий множитель b2:

ab³ - 3b³ + ab²y - 3b²y = b² (ab - 3b + ay - 3y).

Попытаемся теперь разложить на множители многочлен

ab - 3b + ау - 3у.

Сгруппировав первый член со вторым и третий с четвёртым, будем иметь

аb - 3b + ау - Зу = b(а - 3) + у(а - 3) = (а - 3)(b + у).

Окончательно получим

аb³ - Зb³ + ab²y - Зb²у = b²(а - 3)(b + у).

Пример 3. Разложим на множители многочлен а² - 4ах - 9 + 4х².

Решение: Сгруппируем первый, второй и четвёртый члены многочлена. Получим трёхчлен а² - 4ах + 4х², который можно представить в виде квадрата разности. Поэтому

а² - 4ах - 9 + 4х² = (а² - 4ах + 4х²) - 9 = (а - 2х)² - 9.

Полученное выражение можно разложить на множители но формуле разности квадратов:

(а - 2х)² - 9 = (а - 2х)² - З² = (а - 2х - 3)(а - 2х + 3).

Следовательно,

а² - 4ах - 9 + 4х² = (а - 2х - 3)(а - 2х + 3).

Заметим, что при разложении многочлена на множители имеют в виду представление его в виде произведения нескольких многочленов, в котором хотя бы два множителя являются многочленами ненулевой степени (т. е. не являются числами).

Не каждый многочлен можно разложить на множители. Например, нельзя разложить на множители многочлены х² + 1, 4х² - 2х + 1 и т. п.

Рассмотрим пример использования разложения на множители для упрощения вычислений с помощью калькулятора.

Пример 4. Найдём с помощью калькулятора значение многочлена бх³ + 2х² - 7х + 4 при х = 1,2.

Решение: Если выполнять действия в принятом порядке, то сначала придётся найти значения выражений x³ • 5, х² • 2 и 7х, записать результаты на бумаге или ввести их в память калькулятора, а затем перейти к действиям сложения и вычитания. Однако искомый результат можно получить гораздо проще, если преобразовать данный многочлен следующим образом:

бх³ + 2х² - 7х + 4 = (5х² + 2х - 7)х + 4 = ((5х + 2)х - 7)х + 4.

Выполнив вычисления для х = 1,2, найдём, что значение многочлена равно 7,12.

Упражнения

934. Разложите на множители многочлен:

     

935. Представьте в виде произведения:

     

936. Выполните разложение на множители:

     

937. Докажите толсдество

     

938. Разложите на множители:

     

939. Разложите на множители:

     

940. Разложите на множители выражение х⁶ - у⁶, представив его в виде: а) разности квадратов; б) разности кубов.
941. Выполните разложение на множители:

     

942. Разложите на множители:

     

943. Представьте в виде произведения:

     

944. Выполните разложение на множители:

     

945. Разложите на множители:

     

946. Разложите на множители:

     

947. Представьте в виде произведения:

     

948. (Для работы в парах.) Используя калькулятор, найдите значение многочлена 3,5x³ - 2,1x² + 1,9x - 16,7 при х = 3,7.

     1) Пусть один из вас вычислит с помощью калькулятора сначала значения каждого члена многочлена, затем значение многочлена, а другой выполнит преобразование многочлена по образцу, предложенному в примере 4, затем сделает вычисления с помощью калькулятора.
     2) Отметьте затрату времени на выполнение задания в каждом случае.
     3) Сравните полученные результаты и время, затраченное на решение задачи.

949. Решите уравнение:

     

950. Решите уравнение:

     

951. Докажите, что значения многочлена х³ - х при целых значениях х кратны числу 6.
952. Докажите, что разность квадратов двух последовательных нечётных чисел делится на 8.
953. Докажите, что если к произведению трёх последовательных целых чисел прибавить среднее из них, то полученная сумма будет равна кубу среднего числа.
954. Упростите выражение и найдите его значение при указанном значении переменной:

     
955. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения с осями координат графика функции:

     

956. Покажите, как примерно расположен в координатной плоскости график функции:

     

Контрольные вопросы и задания

1. Приведите пример целого выражения и выражения, не являющегося целым.
2. Какие действия надо выполнить и в каком порядке, чтобы представить целое выражение 4х (3 - х)² + (х² - 4)(х + 4) в виде многочлена?
3. Какие способы разложения многочленов на множители вам известны?