Вам известны формулы квадрата суммы и квадрата разности, куба суммы и куба разности. Так как разность а - b можно рассматривать как сумму а + (-b), то в каждом случае можно говорить не о двух формулах, а об одной — квадрате двучлена и кубе двучлена:
Нетрудно получить формулы для возведения двучлена в четвёртую, пятую и т. д. степень. Получить их молено последовательно одну за другой, умножая многочлен, записанный в правой части предшествующей формулы, на а + b. Например:
Умножепие выполним «в столбик»:
Итак,
Умножая правую часть этого равенства на а + b, получим формулу пятой степени двучлена:
Значит,
Для тот чтобы заметить закономерность в формуле n-й степени двучлена а + Ь при различных значениях n, выпишем их, начиная с n = 1 и заканчивая n - 5.
Рассматривая эти формулы, можно заметить, что в правой части каждой из них записан многочлен, содержащий n + 1 членов, где n — показатель степени двучлена.
Первый член многочлена равен аn, т. е. равен произведению аn и b0. Далее при переходе к каждому последующему члену показатель степени а уменьшается на 1, а показатель степени b увеличивается на 1, т. е. сумма показателей степеней в каждом слагаемом равна n.
Сложнее обстоит дело с коэффициентами. Чтобы выявить закономерность в их образовании, выпишем по порядку в строку коэффициенты многочленов при n = 2, а затем при n = 3:
Во второй строке первый и последний коэффициенты равны 1. Нетрудно заметить, что второй коэффициент можно получить, сложив записанные над ним числа 1 и 2, третий — сложив записанные над ним числа 2 и 1.
По тому же правилу получаем строку для n = 4 из строки, записанной для n = 3:
Аналогичным образом из строки
можно получить строку, в которой выписаны коэффициенты многочлена, полученного при возведении двучлена а + b в пятую степень:
Подмеченную закономерность нетрудно обосновать, если проанализировать приведённые ранее примеры на умножение «в столбик» многочлена а3 + 3a2b + 3ab2 + b3 на двучлен а + b и многочлена а4 + 4а3n + 6а2n2 + 4аn3 + n4 на двучлен а + n.
Если добавить строку для n = 0 (нри а ≠ 0 или b ≠ 0), то коэффициенты всех строк можно расположить в виде треугольника:
В нём «боковые стороны» состоят из единиц, а каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, записанных над ним. Этот треугольник называют треугольником Паскаля но имени известного французского учёного Блеза Паскаля (1623—1662) — математика, физика, философа и литератора, описавшего такой треугольник в своём знаменитом трактате «Об арифметическом треугольнике».
Продолжая запись по подмеченному правилу, мы можем получить строку коэффициентов для n = 6, 7, 8 и т. д. в формуле
Существует способ, позволяющий сразу найти коэффициенты многочлена для заданного п. Однако этот способ связан с понятиями, которые вам пока неизвестны.
Отметим ещё одну интересную закономерность в треугольнике Паскаля. Сумма коэффициентов при n = 0, n = 1, n = 2 и т. д. равна соответственно 20, 21, 22, 23 и т. д. Вообще в равенстве
сумма коэффициентов многочлена равна 2n. Убедиться в этом можно, подставив в это равенство а = 1 и b = 1.
Упражнения
Напишите строки треугольника Паскаля для n = 6; n = 7.
Используя треугольник Паскаля, напишите формулу для шестой степепи двучлена а + b. Проверьте результат, умножив на а + b многочлен, равный (а + b)5.
Напишите формулу:
а) седьмой степени двучлена;
б) восьмой степени двучлена.
Используя формулу четвёртой степени двучлена, преобразуйте выражение: