В первом уравнении а = - 1, b = 6 и с = 1,4, во втором а = 8, b = -7 и с = 0, в третьем а = 1, b = 0 и с = . Такие уравнения называют квадратными уравнениями.
Определение: Квадратным уравнением называется уравнение вида ах2 + bх + с = 0, где х — переменная, а, b и с — некоторые числа, причем а ≠ 0.
Числа а, b и с — коэффициенты квадратного уравнения. Число а называют первым коэффициентом, число b — вторым коэффициентом и число с — свободным членом.
В каждом из уравнений вида ах2 + bх + с = 0, где а ≠ 0, наибольшая степень переменной х — квадрат. Отсюда и название: квадратное уравнение.
Заметим, что квадратное уравнение называют ещё уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени.
Квадратное уравнение, в котором коэффициент при х2 равен 1, называют приведённым квадратным уравнением. Например, приведёнными квадратными уравнениями являются уравнения
Если в квадратном уравнении ах2 + bх + с = 0 хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением. Так, уравнения -2х2 + 7 = 0, Зх2 - 10x = 0 и -4x2 = 0 — неполные квадратные уравнения. В первом из них b = 0, во втором с = 0, в третьем b = 0 и с = 0.
Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:
ах2 + с = 0, где с ≠ 0;
ах2 + bх = 0, где b ≠ 0;
ах2 = 0.
Рассмотрим решение уравнений каждого из этих видов.
Пример 1. Решим уравнение -Зх2 + 15 = 0.
Решение: Перенесём свободный член в правую часть уравнения и разделим обе части получившегося уравнения на 4:
-Зх2 = -15,
х2 = 5.
Отсюда
х = или х = - .
Ответ: х1 = , х2 = - .
Пример 2. Решим уравнение 4х2 + 3 = 0.
Решение: Перенесём свободный член в правую часть уравнения и обе части получившегося уравнения разделим на 4:
4х2 = -3,
x2 =
Так как квадрат числа не может быть отрицательным числом, то получившееся уравнение не имеет корней. А следовательно, не имеет корней и равносильное ему уравнение 4х2 + 3 = 0. Ответ: корней нет.
Вообще для решения неполного квадратного уравнения вида ах2 + с = 0 при с ≠ 0 переносят его свободный член в правую часть и делят обе части уравнения на а. Получают уравнение
х2 = - ,
равносильное уравнению ах2 + с = 0.
Так как с ≠ 0, то - ≠ 0.
Если > 0, то уравнение имеет два корня:
Если < 0, то уравнение не имеет корней. а
Пример 3. Решим уравнение 4х2 + 9х = 0.
Решение: Разложим левую часть уравнения на множители:
х(4х + 9) = 0.
Отсюда
х = 0 или 4х + 9 = 0.
Решим уравнение 4х + 9 = 0:
4х = -9,
x = - 2.
Ответ: x1 = 0, х2 = -2.
Вообще для решения неполного квадратного уравнения вида ах2 + bх = 0 при b ≠ 0 раскладывают его левую часть на множители и получают уравнение
х (ах + b) = 0.
Произведение х(ах + b) равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
х = 0 или ах + b = 0.
Решая уравнение ах + b = 0, в котором а ≠ 0, находим
ах = - b,
х = - .
Следовательно, произведение х(ах + b) обращается в нуль при х = 0 и при х = - . Корнями уравнения ах2 + bх = 0 являются числа 0 и - .
Значит, неполное квадратное уравнение вида ах2 + bх = 0 при b ≠ 0 всегда имеет два корня.
Неполное квадратное уравнение вида ах2 = 0 равносильно уравнению х2 = 0 и поэтому имеет единственный корень 0.
Упражнения
Является ли квадратным уравнение:
Назовите в квадратном уравнении его коэффициенты:
Какие из данных уравнений являются приведёнными квадратными уравнениями?
Приведите примеры неполных квадратных уравнений различных видов.
Найдите корни уравнения:
Решите уравнение и укажите приближённые значения корней с точностью до 0,1 (воспользуйтесь калькулятором):
Решите уравнение:
Решите уравнение:
Какое из данных неполных квадратных уравнений не имеет корней?
При каких значениях а уравнение (а - 2)х2 + 15х + а2 - 4 = 0 является неполным квадратным уравнением? Выберите верный ответ.
Решите уравнение:
Найдите корни уравнения:
Решите уравнение:
Произведение двух последовательных целых чисел в 1,5 раза больше квадрата меньшего из них. Найдите эти числа.
Теннисный корт представляет собой прямоугольную площадку, длина которой вдвое больше ширины, а площадь равна 800 м2. Найдите длину и ширину корта.
Если от квадрата отрезать треугольник площадью 59 см2, то площадь оставшейся части будет равна 85 см2. Найдите сторону квадрата.
Две группы туристов отправились одновременно из одного пункта — одна на север со скоростью 4 км/ч, а другая на запад со скоростью 5 км/ч. Через какое время расстояние между туристами окажется равным 16 км?
Путь свободно падающего тела вычисляется по формуле s = , где t (с) — время, g ≈ 10 м/с2, s (м) — пройденный путь. Через сколько секунд от начала падения камень достигнет дна шахты глубиной 80 м?
Ширина земельного участка, имеющего форму прямоугольника, составляет 75% его длины, а его площадь равна 4800 м2. Найдите длину забора, ограждающего этот участок.
Телевизор имеет плоский экран прямоугольной формы. В паспорте к телевизору указано, что длина экрана относится к ширине как 4 : 3, а диагональ равна 25 дюймам. Найдите длину и ширину экрана в дюймах; в сантиметрах (1 дюйм = 2,54 см).
В каких координатных четвертях расположен график функции:
Найдите значение выражения при х = 0,36 и при х = 49.