Учебник для 8 класса

Алгебра

36. Доказательство неравенств

Один из приёмов доказательства неравенств состоит в том, что составляют разность левой и правой частей неравенства и показывают, что она сохраняет знак при любых указанных значениях переменных. Этот приём вам уже приходилось применять в простых случаях. Покажем его применение на более сложном примере.

Пример 1. Докажем, что

Решение: Составим разность левой и правой частей неравенства и преобразуем её:

Для того чтобы оценить составленную разность, каждое из выражений, записанных в скобках, представим в виде дроби со знаменателем 1 и освободимся от иррациональности в её числителе. Получим

Так как функция у = является возрастающей, то знаменатель первой дроби меньше, чем знаменатель второй, т. е. первая дробь больше второй. Следовательно, разность дробей является положительной. Заданное неравенство доказано.

Ещё один приём доказательства неравенств состоит в том, чтобы показать, что данное неравенство следует из других неравенств, справедливость которых известна.

Пример 2. Докажем, что

Решение: Из соотношения между средним арифметическим и средним геометрическим двух положительных чисел следует, что при указанных значениях переменных

Перемножив эти неравенства, получим, что

Отсюда

Неравенство доказано.

В отдельных случаях удаётся доказать неравенство, используя некоторые очевидные соотношения. В качестве таких очевидных соотношений могут быть взяты, например, такие: (1 + а)² > 1 + 2а при любом а, не равном нулю, при с > 0, при х ≥ -1 и т. п.

Пример 3. Докажем, что двойное неравенство

верно при любом х ≥ 1.

Решение: Заменим разности соответственно равными им дробями

Тогда данное неравенство примет вид

Так как

Неравенство доказано.

Пример 4. Докажем, что при любом натуральном n > 1 верно неравенство

Решение: Очевидно, что при любом натуральномn > 1 верны следующие неравенства:

Складывая почленно эти неравенства и прибавляя к левой и правой частям полученного неравенства по , будем иметь

Отсюда

Неравенство доказано.

Упражнения

905. Докажите неравенство:

     

906. Докажите, что если х > 0 и у > 0, то:

     
907. Докажите, что при а > 0 и b > 0 верно неравенство:

     

908. Докажите, что:

     

909. Докажите, что куб полусуммы любых двух положительных чисел не превосходит полусуммы их кубов.
910. Докажите, что

     

     если a > 0, b > 0, с > 0, d > 0.

911. Докажите, что при а > 0, b > 0, с > 0 верно неравенство

     

912. Докажите, что если х + у + z = 1, то

     

913. Докажите, что при любом а, большем 1, верно неравенство

     

914. Велосипедист рассчитал, с какой скоростью он должен ехать из посёлка в город и обратно, чтобы, пробыв в городе полчаса, вернуться в посёлок к намеченному сроку. Однако на пути из посёлка в город он ехал со скоростью, на 2 км/ч меньшей намеченной, а спустя полчаса возвращался из города в посёлок со скоростью, на 2 км/ч большей намеченной. Успел ли велосипедист вернуться в посёлок к назначенному сроку?