Известные вам свойства степени с натуральным показателем справедливы и для степени с любым целым показателем (нужно только предполагать, что основание степени не равно нулю).
Эти свойства можно доказать, опираясь на определение степени с целым отрицательным показателем и свойства степени с натуральным показателем.
Докажем, например, справедливость свойства (1) (основного свойства степени) для случая, когда показатели степеней — целые отрицательные числа. Иначе говоря, докажем, что если k и р — натуральные числа и а ≠ 0, то а- k • а- р = а- k - р.
Имеем
Заменяя степени а- k и а- р дробями и дробь степенью а- (k + р), мы воспользовались определением степени с целым отрицательным показателем. Заменяя произведение аkар степенью ак + р, мы использовали основное свойство степени с натуральным показателем.
Из свойств степени вытекает, что действия над степенями с целыми показателями выполняются по тем же правилам, что и действия над степенями с натуральными показателями.
Пример 1. Преобразуем произведение а-17 • а21.
Решение: При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют тем же, а показатели степеней складывают. Имеем
Пример 2. Преобразуем частное b2 : b5.
Решение: При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя. Имеем
Для степеней с натуральными и нулевым показателями мы могли применять правило деления степеней с одинаковыми основаниями в том случае, когда показатель степени делимого был не меньше показателя степени делителя. Теперь, после введения степеней с целыми показателями, это ограничение снимается: показатели степеней делимого и делителя могут быть любыми целыми числами.
Пример 3. Упростим выражение (2а3b- 5)- 2.
Решение: Сначала применим свойство (4), а затем свойство (3). Имеем
Упражнения
Найдите значение выражения:
Вычислите:
Докажите, что степени любого отличного от нуля числа с противоположными показателями взаимно обратны.
Докажите, что при любом целом n, а ≠ 0 и b ≠ 0.
Вычислите:
Представьте выражение в виде степени с основанием 3 и найдите его значение:
Представьте выражение в виде степени с основанием 2 и найдите его значение:
Представьте выражение, в котором m — целое число, в виде степени с основанием 5:
Вычислите:
Найдите значение выражения:
(Для работы в парах.) Зная, что m — целое число, сократите дробь:
1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
2) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены задания.
3) Исправьте ошибки, если они допущены.
Представьте какими-либо тремя способами выражение х-10 в виде произведения степеней.
Представьте выражение а12, где а ≠ 0, в виде степени:
а) с основанием а4;
б) с основанием а-6.
Представьте в виде степени с основанием х частное:
Упростите выражение:
Найдите значение выражения:
Упростите выражение и найдите его значение:
Представьте степень в виде произведения:
Преобразуйте в произведение:
Представьте в виде степени произведения выражение:
Упростите выражение:
Преобразуйте выражение:
Упростите выражение:
Преобразуйте выражение:
Известно, что х1 и х2 — корни уравнения 8х2 - 6x + n = 0 и x1-1 + x2-1 = 6. Найдите n.