В науке и технике встречаются как очень большие, так и очень малые положительные числа. Например, большим числом выражается объём Земли — 1 083 000 000 000 км3, а малым — диаметр молекулы воды, который равен 0,0000000003 м.
В обычном десятичном виде большие и малые числа неудобно читать и записывать, неудобно выполнять над ними какие-либо действия. В таком случае полезным оказывается представление числа в виде а • 10n, где n — целое число. Например:
Представим каждое из чисел 1 083 000 000 000 и 0,0000000003 в виде произведения числа, заключённого между единицей и десятью, и соответствующей степени числа 10:
Говорят, что мы записали числа 1 083 000 000 000 и 0,0000000003 в стандартном виде. В таком виде можно представить любое положительное число.
Стандартным видом числа а называют его запись в виде а • 10n, где 1 < а < 10 и n — целое число. Число n называется порядком числа а.
Например, порядок числа, выражающего объём Земли в кубических километрах, равен 12, а порядок числа, выражающего диаметр молекулы воды в метрах, равен -10.
Порядок числа даёт представление о том, насколько велико или мало это число. Так, если порядок числа а равен 3, то это означает, что 1000 ≤ а < 10 000. Если порядок числа а равен -2, то 0,01 ≤ а < 0,1. Большой положительный порядок показывает, что число очень велико. Большой по модулю отрицательный порядок показывает, что число очень мало.
Пример 1. Представим в стандартном виде число а = 4 350 000.
Решение: В числе а поставим запятую так, чтобы в целой части оказалась одна цифра. В результате получим 4,35. Отделив запятой 6 цифр справа, мы уменьшили число а в 106 раз. Поэтому а больше числа 4,35 в 106 раз. Отсюда
а = 4,35 • 106.
Пример 2. Представим в стандартном виде число а = 0,000508.
Решение: В числе а переставим запятую так, чтобы в целой части оказалась одна отличная от нуля цифра. В результате получится 5,08. Переставив запятую на четыре знака вправо, мы увеличили число а в 104 раз. Поэтому число а меньше числа 5,08 в 104 раз. Отсюда
Упражнения
Назовите порядок числа, представленного в стандартном виде:
Запишите в стандартном виде число:
Запишите в стандартном виде:
Представьте число в стандартном виде:
Масса Земли приближённо равна 6 000 000 000 000 000 000 000 т, а масса атома водорода 0,0000000000000000000017 г. Запишите в стандартном виде массу Земли и массу атома водорода.
Выразите:
Представьте:
Выполните умножение:
Какой путь пройдёт свет за 2,8 • 106 с (скорость света равна 3 • 105 км/с)?
(Для работы в парах.)
а) Масса Земли 6,0 • 1024 кг, а масса Марса 6,4 • 1023 кг. Что больше: масса Земли или масса Марса — и во сколько раз? Результат округлите до десятых,
б) Масса Юпитера 1,90 • 1027 кг, а масса Венеры 4,87 • 1024 кг. Что меньше: масса Юпитера или масса Венеры — и во сколько раз? Результат округлите до единиц.
1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
2) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены вычисления.
3) Исправьте допущенные ошибки.
4) Расположите указанные планеты в порядке возрастания их масс.
Плотность железа 7,8 • 103 кг/м3. Найдите массу железной плиты, длина которой 1,2 м, ширина 6 • 10- 1 м и толщина 2,5 • 10- 1 м.
Найдите значение выражения .
При каком значении m сумма корней уравнения Зx2 - 18x + m = 0 равна произведению этих корней?
Найдите целые отрицательные значения х, которые являются решением неравенства - х < 11.
Замените а каким-либо натуральным числом так, чтобы система неравенств:
не имела решений.
Контрольные вопросы и задания
Сформулируйте определение степени с целым отрицательным показателем.
Сформулируйте свойства произведения и частного степеней с одинаковыми основаниями и целыми показателями.
Как возвести степень в степень?
Как возвести произведение и частное в степень?
Какую запись числа называют его стандартным видом?
Покажите на примере, как представить число в стандартном виде.
.
- х < 11.
