При анализе результатов наблюдений полезно иметь сведения о разбросе данных в ряду. Некоторое представление об этом даёт размах ряда, но он является слишком грубой оценкой. Поэтому известные вам статистические показатели дополняют ещё одним понятием, называемым дисперсией.
Разъясним смысл понятия дисперсия на примере.
Пусть имеется ряд данных
7, 5, 10, 6, 5, 15.
Среднее арифметическое этого ряда равно:
Для каждого члена ряда найдём его отличие, или, как говорят, его отклонение от среднего арифметического:
Нетрудно подсчитать, что сумма отклонений равна нулю:
(-1) + (-3) + 2 + (-2) + (-3) + 7 = 0.
Вообще для любого ряда данных сумма отклонений от среднего арифметического равна нулю и потому не может характеризовать разброс данных в ряду.
Для того чтобы судить о разбросе данных в некотором ряду, поступают следующим образом: составляют ряд квадратов отклонений и вычисляют среднее арифметическое этого ряда, которое называют дисперсией заданного ряда данных.
Дисперсией ряда чисел называется среднее арифметическое квадратов их отклонений от среднего арифметического этого ряда.
Дисперсия является мерой разброса чисел в ряду.
В приведённом примере дисперсия ряда равна:
Рассмотрим такой пример. При подготовке к соревнованиям по стрельбе из пистолета спортсмены Петров и Смирнов произвели по 8 серий выстрелов. Подсчитывая для каждой серии, состоящей из 10 выстрелов, число попаданий в цель, получили такие данные:
Для каждого ряда данных найдём среднее арифметическое:
Вычислим дисперсию для каждого ряда данных.
Для ряда результатов, показанных Петровым, имеем
Для ряда результатов, показанных Смирновым, имеем
Мы видим, что, хотя среднее арифметическое числа попаданий в обоих случаях одинаково, разброс данных во втором ряду меньше. Следовательно, Смирнов показал на тренировке более стабильный результат.
Одна из особенностей дисперсии состоит в следующем: если в ряду, содержащем большое число данных, есть лишь несколько данных, значительно отличающихся от среднего арифметического этого ряда, то дисперсия такого ряда обычно бывает невелика.
Необходимо отметить, что дисперсия как характеристика ряда данных имеет существенный недостаток. Он заключается в следующем. Если величины измеряются в каких-либо линейных единицах, например, в метрах, часах, килограммах и т. п., то дисперсия измеряется в квадратах этих единиц, т. е. в мерах, некоторые из которых не имеют реального смысла. Поэтому, при оценке разброса данных дисперсию часто заменяют другим показателем, называемым средним квадратичным отклонением.
Средним квадратичным отклонением числового ряда называют квадратный корень из дисперсии этого ряда.
Для результатов стрельбы, показанных Петровым и Смирновым, дисперсия, согласно расчётам, равна соответственно 1,5 и 0,75. Среднее квадратичное отклонение в первом случае равно , а во втором оно равно .
Среднее квадратичное отклонение принято обозначать греческой буквой а (сигма). В рассмотренном примере σ1 = ≈ 1,2, σ2 = ≈ 0,9.
Упражнения
Для ряда чисел 5, 6, 8, 10, 7, 2 найдите:
а) среднее арифметическое;
б) отклонение каждого члена ряда от среднего арифметического;
в) сумму квадратов отклонений;
г) дисперсию ряда.
Вычислите дисперсию ряда чисел:
а) 6, 8, 10, 12, 9;
б) -4, -1, -2, 7, 5, 4.
Составьте какой-либо ряд, состоящий из пяти чисел. Найдите для него:
В таблице приведены средние месячные температуры (в градусах Цельсия), установленные для Москвы и Хабаровска для первого полугодия на основе наблюдений, проводившихся в течение 80 лет.
Пользуясь калькулятором, найдите для каждого ряда данных:
а) среднее арифметическое месячных температур;
б) отклонения температур от среднего арифметического;
в) дисперсию.
Объясните, какие особенности климата отражены в значениях дисперсии.
Найдите дисперсию и среднее квадратичное отклонение для ряда чисел:
а) -5, -8, 6, 7, 4, 3;
б) 1, 0, 3, 0, б, 4.
Для произвольного ряда, составленного из пяти двузначных чисел, найдите среднее квадратичное отклонение.
Как изменится дисперсия ряда чисел
х1, х2, х3, х4, х5, х6,
если каждое число увеличить на положительное число а? Проверьте результат на примере ряда 1, 3, 6, 8, -1, -2 и а = 4. Выскажите предположение и проведите доказательство.
, а во втором оно равно 
.
