При умножении обыкновенных дробей перемножают отдельно их числители и их знаменатели и первое произведение записывают в числителе, а второе — в знаменателе дроби. Например:
Таким же образом перемножают любые рациональные дроби:
где а, b, с и d — некоторые многочлены, причём b и d — ненулевые многочлены.
Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и перемножить их знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе — знаменателем дроби.
Пример 1. Умножим дробь на дробь .
Решение: Воспользуемся правилом умножения дробей:
Пример 2. Умножим дробь на дробь .
Решение: Имеем
Пример 3. Представим произведение в виде рациональной дроби.
Решение: Имеем
Пример 4. Умножим дробь на многочлен х2 - а2.
Решение: При умножении дроби на многочлен этот многочлен записывают в виде дроби со знаменателем 1 и затем применяют правило умножения дробей:
Правило умножения дробей распространяется на произведение трёх и более рациональных дробей. Например:
Выясним теперь, как выполняется возведение рациональной дроби в степень.
Рассмотрим выражение , являющееся n-й степенью рациональной дроби и докажем, что
По определению степени имеем
Применяя правило умножения рациональных дробей и определение степени, получим
Следовательно,
Чтобы возвести дробь в степень, надо возвести в эту степень числитель и знаменатель и первый результат записать в числителе, а второй — в знаменателе дроби.
Пример 5. Возведём дробь в третью степень.
Решение: Воспользуемся правилом возведения в степень:
Упражнения
Выполните умножение:
Представьте в виде дроби:
Выполните умножение:
Преобразуйте в дробь выражение:
Упростите выражение:
Выполните умножение:
Упростите выражение:
Возведите в степень:
Возведите в степень:
Представьте в виде дроби:
Зная, что а - = 2, найдите значение выражения .
Выполните умножение:
Выполните умножение:
Представьте в виде дроби:
Упростите выражение:
Представьте в виде дроби:
Найдите значение выражения:
Выполните умножение:
Представьте в виде дроби:
Упростите выражение:
Докажите, что если дробь является квадратом дроби, то и произведение а b можно представить в виде квадрата некоторого выражения.
Упростите выражение:
Первые 30 км велосипедист ехал со скоростью v км/ч, а остальные 17 км — со скоростью, на 2 км/ч большей. Сколько времени t (ч) затратил велосипедист на весь путь? Найдите t, если: a) v = 15; б) v = 18.