Сумму двух рациональных дробей, как известно, всегда можно представить в виде несократимой дроби, у которой числитель и знаменатель — многочлены с переменными или числа (в частности, число 1). Обратная задача — представление дроби в виде суммы двух дробей — неопределённая.
Так, например, дробь можно представить в виде суммы (или разности) двух слагаемых разными способами:
Вообще задача представления дроби в виде суммы дробей допускает сколь угодно много решений. Действительно, если требуется представить дробь в виде суммы двух дробей, то в качестве одного из слагаемых можно взять произвольную дробь . Тогда вторая дробь будет равна разности , т. е. равна дроби .
Для представления дроби в виде суммы дробей можно воспользоваться методом неопределённых коэффициентов. Разъясним на примере, в чём состоит этот метод.
Пример 1. Представим дробь в виде суммы дробей со знаменателями х - 3 и х + 4.
Решение: Допустим, что
Сложим дроби в правой части равенства:
Получаем, что
Это равенство будет тождеством, если а + b = 7 и 4а - Зb = 0. Решив систему уравнений
найдём, что а = 3, b = 4.
Следовательно,
Приведём теперь примеры задач, при решении которых используется представление дроби в виде суммы целого выражения и дроби.
Пример 2. Найдём все пары целых чисел, удовлетворяющие уравнению х - ху + Зу = 5.
Решение: Выразим из уравнения переменную х через у:
Выделив из дроби целую часть, получим
Значение дроби является целым числом тогда и только тогда, когда у - 1 = -2, у - 1 = -1, y - 1 = 1, у - 1 = 2. Отсюда у = -1; 0; 2; 3. Вычисляя соответствующее значение х, получаем искомые пары целых чисел: (4; -1), (5; 0), (1; 2), (2; 3).
Пример 3. Найдём, при каких значениях n значение дроби является целым числом.
Решение: Представим дробь в виде суммы многочлена и дроби.
Для этого многочлен n2 - 2n - 10 разделим на двучлен n - 5. Деление выполним уголком аналогично тому, как выполняется деление натуральных чисел.
В результате получаем, что частное равно n + 3, а остаток равен 5.
Значит,
Отсюда
Значение двучлена n + 3 при любом целом n является целым числом.
Значение дроби является целым числом тогда и только тогда, когда n - 5 равно 1, -1, 5 или -5.
Значит, дробь принимает целые значения при n, равном 0, 4, 6 и 10.
Упражнения
При каких значениях а и b равенство
является тождеством?
Представьте дробь в виде суммы двух дробей со знаменателями х + 4 и х - 2.
Представьте дробь в виде суммы двух дробей со знаменателями x - 1 и x + 1.
Выясните, при каких целых а дробь принимает целые значения, и найдите эти значения.
(Для работы в парах.) Зная, что m — целое число, найдите целые значения дроби:
1) Обсудите, какие преобразования надо выполнить, чтобы найти целые значения дроби.
2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены преобразования и верно ли найдены целые значения дроби. Исправьте замеченные ошибки.
Найдите все пары целых чисел, удовлетворяющие уравнению:
а) 5х + у - ху = 2;
б) ху - х + у = 8.
Найдите все точки графика функции у = с целочисленными координатами.
Докажите, что при любом целом а, отличном от нуля, значение дроби не является целым числом.
Найдите все пары натуральных чисел а и b, если известно, что сумма обратных им чисел равна .
можно представить в виде суммы (или разности) двух слагаемых разными способами:
в виде суммы двух дробей, то в качестве одного из слагаемых можно взять произвольную дробь 
. Тогда вторая дробь будет равна разности 
, т. е. равна дроби 
.
в виде суммы дробей со знаменателями х - 3 и х + 4.
целую часть, получим
является целым числом тогда и только тогда, когда у - 1 = -2, у - 1 = -1, y - 1 = 1, у - 1 = 2. Отсюда у = -1; 0; 2; 3. Вычисляя соответствующее значение х, получаем искомые пары целых чисел: (4; -1), (5; 0), (1; 2), (2; 3).
является целым числом.
является целым числом тогда и только тогда, когда n - 5 равно 1, -1, 5 или -5.
в виде суммы двух дробей со знаменателями х + 4 и х - 2.
в виде суммы двух дробей со знаменателями x - 1 и x + 1.
принимает целые значения, и найдите эти значения.
с целочисленными координатами.
не является целым числом.
.
, если 
.
, наидите значение дроби 
.