Эта теорема является ещё одним признаком перпендикулярности прямой и плоскости. При её доказательстве используются две простые леммы:
Доказательство. Пусть параллельные плоскости α и β пересекают плоскость γ по прямым а и b соответственно (рис. 100). Прямые а и b лежат в одной плоскости γ. Они не имеют общих точек, так как плоскости α и β не имеют общих точек. Поэтому прямые а и b параллельны.
Рис. 100
Доказательство. Пусть плоскости α и β параллельны и прямая с пересекает плоскость α в точке А (рис. 101).
Рис. 101 Возьмём в плоскости β любую точку М и проведём через прямую с и точку М плоскость γ. Она пересечёт плоскости α и β по параллельным прямым а и b. Прямая с лежит в плоскости γ и пересекает прямую а в точке А. Поэтому прямая с пересечёт и прямую b, параллельную прямой а и лежащую в плоскости γ, в некоторой точке В. Точка В и является точкой пересечения прямой с и плоскости β, так как лежать в плоскости р прямая с не может (объясните!). Теперь докажем теорему 12. Доказательство теоремы 12. Пусть плоскости α и β параллельны и прямая с перпендикулярна плоскости α (рис. 102).
Рис. 102 Прямая с пересекает плоскость α в некоторой точке А. Поэтому по лемме 2 прямая с пересекает и плоскость β в некоторой точке В. Проведём через точку В в плоскости β любую прямую b и покажем, что с ⊥ b. Пусть γ — плоскость, проходящая через прямые b и с. Она пересекает плоскости α и β по параллельным прямым а и b (по лемме 1). Так как с ⊥ α, то с ⊥ a. А поскольку b||а и все прямые а, Ь, с лежат в плоскости γ, то с ⊥ b. Следовательно, с ⊥ β (по определению перпендикулярности прямой и плоскости) 11.3 Основная теорема о параллельных плоскостях
Доказательство. Пусть даны плоскость α и не лежащая в ней точка А (рис. 103). Проведём через точку А прямую а, перпендикулярную плоскости α (см. п. 9.1). Через точку А проведём плоскость β, перпендикулярную прямой а (см. п. 9.2). Плоскости α и β параллельны, так как они перпендикулярны прямой а. Мы доказали существование плоскости β, проходящей через точку А и параллельной плоскости α.
Рис. 103 Докажем единственность такой плоскости. Пусть γ — плоскость, проходящая через точку А и параллельная плоскости α. Так как γ||α и а ⊥ α, то а ⊥ γ (по теореме 12). А поскольку через точку А проходит лишь одна плоскость, перпендикулярная прямой а (п. 9.2), то плоскости β и γ совпадают. Поэтому β — единственная плоскость, проходящая через точку А и параллельная плоскости α.
Следствие (о двух плоскостях, параллельных третьей). Две плоскости, параллельные третьей плоскости, параллельны. Доказательство. Если две плоскости α и β параллельны плоскости γ, то они не имеют общей точки: в противном случае через эту точку проходят две плоскости, параллельные γ. Замечание. Обратите внимание на аналогию с параллельными прямыми на плоскости: начиная с определения всем доказанным здесь предложениям о параллельных плоскостях соответствуют такие же предложения о параллельных прямых на плоскости. Сформулируйте их. Вопросы для самоконтроля
Содержание |