В задачах слово «цилиндр» везде означает «цилиндр вращения».
18.1. Какой фигурой является сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси?
18.2. Докажите, что около цилиндра можно описать сферу. Это означает, что найдётся сфера, на которой лежат окружности двух оснований цилиндра. Цилиндр в таком случае называется вписанным в сферу, а сфера — описанной около цилиндра.
18.3. Говорят, что сфера вписана в цилиндр, если она касается его оснований, а с боковой поверхностью цилиндра имеет общую окружность. Выясните, в какой цилиндр можно вписать сферу.
18.4. Какой фигурой является проекция цилиндра на плоскость:
а) параллельную его оси;
б) перпендикулярную его оси?
18.5. Осевое сечение цилиндра — квадрат (такой цилиндр называется равносторонним).
Сравните площадь осевого сечения с площадью:
а) основания;
б) квадрата, описанного около основания.
Во сколько раз площадь осевого сечения больше площади квадрата, вписанного в основание?
Объясните, почему сферу можно вписать только в такой цилиндр.
18.6. Диагональ осевого сечения цилиндра равна d и составляет с плоскостью основания угол ср. Каковы размеры цилиндра (радиус его основания и высота)?
18.7. Исследуем Два сечения цилиндра параллельны его оси и пересекаются. Как расположен их общий отрезок по отношению к плоскостям оснований?
18.8. Дан цилиндр с радиусом основания R и высотой Н. Параллельно его оси проводится сечение цилиндра. Выразите его площадь и периметр как функции от х, где х — расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения.
18.9. В сферу радиуса R вписан цилиндр,
а) Нарисуйте осевое сечение этой фигуры,
б) Чему равна диагональ его осевого сечения?
в) Какой из таких цилиндров имеет наибольшую площадь осевого сечения?
18.10. Дан цилиндр радиуса Я. Его кладут в щель шириной d так, что его ось параллельна краям щели. На сколько он углубится в эту щель?
18.11. Две пересекающиеся плоскости, опорные к цилиндру радиуса Я, проходят через образующие его поверхности. Чему равно расстояние от прямой пересечения этих плоскостей до оси цилиндра, если угол между этими плоскостями:
а) 90°;
б) φ?
18.12. Как плоским разрезом можно разбить цилиндр на две равные части?
