В задачах, если нет специальных оговорок, под конусом понимается конус вращения, а под усечённым конусом — усечённый конус вращения. В задачах под образующей конуса понимается образующая его поверхности.
19.1. В конусе радиуса R и высоты Н проводятся сечения, параллельные основанию. Выразите как функцию от х площади этих сечений, где х — расстояние от вершины конуса до этих сечений.
19.2. Докажите, что около конуса можно описать сферу. Это означает, что найдётся сфера, на которой лежит вершина конуса и окружность его основания. Конус в таком случае называется вписанным в сферу, а сфера — описанной около конуса. Верно ли аналогичное утверждение для усечённого конуса?
19.3. Докажите, что в конус можно вписать сферу. Это означает, что найдётся сфера, которая лежит в конусе, касается основания, а с боковой поверхностью конуса имеет общую окружность. Конус в этом случае называется описанным около сферы, а сфера — вписанной в конус.
19.4. Какой фигурой является проекция конуса на плоскость, которая параллельна:
а) основанию конуса;
б) оси конуса?
Ответьте на эти же вопросы для усечённого конуса.
19.5. Какой из отрезков, соединяющих вершину конуса с точками на его основании:
а) самый длинный;
б) самый короткий;
в) составляет с плоскостью основания наибольший угол;
г) составляет с плоскостью основания наименьший угол?
19.6. Докажите, что все образующие поверхности конуса:
а) составляют с плоскостью основания равные углы;
б) одинаково удалены от центра основания.
19.7. Пусть R — радиус основания конуса, L — длина образующей его поверхности, H — его высота, D — диаметр описанного шара,
а) Найдите Н, если R = 2 и L = 3.
б) Найдите Н, если R = 1 и угол между образующими осевого сечения равен φ.
в) Докажите, что L2 = D • H и R2 = H(D - H).
Из каждой формулы выразите диаметр шара.
19.8. Пусть R1 и R2 — радиусы оснований усечённого конуса, a L — длина образующей его поверхности. Чему равна его высота, если:
а) R1 = 2R1 = L = 1;
б) L = 1, а угол между образующими осевого сечения равен 60°?
19.9.
а) Осевое сечение конуса — равносторонний треугольник (такой конус называется равносторонним). Докажите, что другого такого сечения у него нет. Решите аналогичную задачу для прямоугольного треугольника.
б) Осевое сечение конуса — тупоугольный треугольник. Докажите, что у него найдутся сечения, являющиеся прямоугольными треугольниками.
19.10. В конусе через его вершину проводятся всевозможные равные сечения. Докажите, что их плоскости:
а) одинаково удалены от центра основания конуса;
б) образуют равные углы с осью конуса;
в) образуют равные углы с плоскостью основания конуса.
Проверьте обратные утверждения.
19.11. В конусе проводится сечение, параллельное основанию,
а) Какую часть составляет его площадь от площади основания, если оно проходит через середину оси?
б) Через какую точку оси оно проходит, если его площадь составляет половину площади основания?
19.12. Как найти радиус шара, вписанного в конус?
19.13. Дан шар радиуса 2. В каких границах находится площадь осевого сечения конуса, вписанного в этот шар?
<">
