20.1. Точки А, В, С и D лежат на окружности и разбивают её на дуги АВ, ВС, CD и DA, градусные меры которых относятся как 4 : 1 : 2 : 5. Хорды АС и BD пересекаются в точке К. Найдите:
а) углы четырёхугольника ABCD;
б) углы АКВ и ВКС;
в) угол между прямыми АВ и CD;
г) угол между прямыми ВС и AD.
20.2. Хорда АВ некоторой окружности пересекает её диаметр CD в точке К. Градусная мера дуги АС равна φ, a ∠AKC = α. Найдите градусные меры дуг DA, BD и СВ этой окружности.
20.3. Через концы дуги окружности, градусная мера которой φ (φ < 180°), проведены касательные прямые к этой окружности. Найдите угол между этими прямыми.
20.4. Угол между двумя касательными лучами, проведёнными из некоторой точки к одной окружности, равен α. Найдите градусные меры дуг, на которые разобьют эту окружность их точки касания.
20.5. Точка В лежит на дуге АС некоторой окружности (дуга АС меньше полуокружности). Градусные меры её дуг АВ и ВС равны соответственно α и β. Через точку В проводится касательная прямая к окружности. Найдите угол между этой касательной и прямой АС. Сформулируйте теорему об измерении угла между касательной и секущей, проведёнными из одной точки.
20.6. В окружности проведена хорда АВ. Через точку С этой окружности к ней проведена касательная. Пусть расстояния от точек А и В до этой касательной равны а и b. Найдите расстояние от точки С до хорды АВ.
20.7. На сторонах четырёхугольника как на диаметрах построены четыре круга. Докажите, что они накрывают четырёхугольник полностью.
20.8. Около треугольника описана окружность. Проводится биссектриса угла этого треугольника. Докажите, что она пересекает описанную окружность в точке, лежащей на серединном перпендикуляре стороны данного треугольника.
20.9. Две окружности внутренне касаются в точке Р. Хорда АВ большей окружности касается меньшей окружности в точке О. Докажите, что луч PQ делит угол АРВ пополам.
Задачи к п. 20.2
20.10. В угол вписаны две окружности. Одна из них касается сторон угла в точках К и L, а другая — в точках М и N. Докажите, что на прямой KN эти окружности высекают равные хорды.
20.11. Докажите, что касательные к двум пересекающимся окружностям из всякой точки продолжения их общей хорды равны между собой.
20.12. Постройте окружность, проходящую через две заданные точки одной стороны угла и касающуюся другой его стороны.
20.13. Около треугольника ABC со сторонами а, Ь, с (Ь < с) описана окружность,
а) Через точку А проведена касательная, которая пересекает луч ВС в точке D. Вычислите AD и CD.
б) Пусть К и L — точки на луче ВС, в которых биссектрисы угла А и внешнего к нему угла пересекают луч ВС. Докажите, что точка D — середина отрезка KL.
20.14. В окружности известны диаметр и длины двух хорд. Достаточно ли этого, чтобы выяснить, пересекаются эти хорды или нет? А если, кроме этого, известно, что хорды взаимно перпендикулярны?
20.15. Космический корабль находится над Землёй на высоте 300 км. Каков радиус окружности горизонта, наблюдаемой с этого корабля? Радиус Земли приблизительно 6370 км.
20.16. Из середины С полуокружности радиуса R проведены хорды СА и СВ в концы диаметра АВ этой полуокружности. Проведена хорда KL, параллельная диаметру АВ.
а) Докажите, что хорда KL может разделиться хордами СА и СВ на равные части,
б) Найдите зависимость между длинами частей хорды KL, когда К и L — середины дуг СА и СВ.
20.17. Нарисуйте окружность и её диаметр АВ. Через точку В проведите касательную к этой окружности. Через точку А и точку X этой окружности проведите луч, который пересекает эту касательную в точке Р. Зависит ли величина АХ • АР от положения точки X на окружности?
20.18. Две прямые взаимно перпендикулярны. Выбраны два вертикальных угла, образованные ими, и в каждый из них вписана окружность. К ним проведена общая внешняя касательная. Радиусы окружностей известны. Как найти длину отрезка этой касательной, ограниченного двумя данными прямыми?
20.19. Три круга имеют общую точку. Докажите, что три общие хорды каждой пары этих кругов имеют общую точку.
20.20. В окружность вписан шестиугольник. При этом каждая пара противоположных сторон лежит на пересекающихся прямых. Докажите, что три полученные точки пересечения лежат на одной прямой (теорема Паскаля).
Задачи к п. 20.3
20.21. Как найти неизвестную сторону треугольника, если известны две его стороны и радиус описанной окружности?
20.22. Известны две стороны треугольника и высота к третьей его стороне. Как вычислить радиус его описанной окружности?
20.23. В треугольнике ABC АВ = 4 и ДС = 5, а радиус описанной окружности равен √7.
а) Чему равна его площадь?
б) Найдите ВС.
20.24.
а) Пусть стороны данного треугольника ABC равны соответственно а, b, с. Чему равно расстояние между центром описанной окружности и вершиной А?
б) Пусть в треугольнике ABC ∠A > ∠B. Сравните между собой расстояния от центра вписанной в этот треугольник окружности до этих вершин.
20.25. S — площадь треугольника ABC, R — радиус его описанной окружности, r — радиус его вписанной окружности. Докажите, что выполняются такие соотношения:
20.26. Пусть точка О — центр окружности, описанной около треугольника, точка — центр окружности, вписанной в него, R — радиус его описанной окружности, r — радиус его вписанной окружности. Докажите, что O2 = R2 - 2Rг (формула Эйлера). Как изменится эта формула, если точка Ол будет центром вневписанной окружности? Какие следствия можно получить из этой формулы?
20.27. Исследуем Можно ли найти площадь равнобедренного треугольника, зная его основание и радиус описанной окружности? Если можно, то попытайтесь получить соответствующую формулу.
Задачи к п. 20.4
20.28. В треугольник с известными сторонами вписана окружность, и в нём проведена хорда, касательная к ней и параллельная стороне. Как найти её длину?
20.29. Докажите, что площадь четырёхугольника, вписанного в окружность, стороны которого равны а, Ь, с, d, вычисляется по формуле
где S — площадь, р — полупериметр.
20.30. В окружность вписан четырёхугольник. Докажите, что хорды этой окружности, соединяющие середины противоположных дуг, взаимно перпендикулярны.
20.31. Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку А проведена прямая, пересекающая эти окружности в точках К и через точку В проведена прямая, пересекающая эти окружности в точках М и N (точки К и М принадлежат одной окружности, а точки L и N — другой). Докажите, что прямые КМ и LN параллельны.
20.32. Докажите, что в описанном четырёхугольнике равны суммы углов, под которыми видны из центра вписанной окружности противоположные стороны.
20.33. В треугольнике ABC проведены высоты АК и ВМ. Докажите, что:
а) вокруг четырёхугольника АВКМ можно описать окружность;
б) треугольники ABC и КМС подобны.
20.34.
а) Треугольник вписан в окружность. Произвольная точка окружности проектируется на все стороны треугольника. Докажите, что все проекции лежат на одной прямой (прямая Симеона),
б) Проверьте обратное утверждение.
20.35. Две окружности имеют общую хорду АВ. Через точку А проведена прямая, которая пересекает первую и вторую окружности в точках С и D соответственно. В этих точках проводятся касательные к первой и второй окружностям соответственно. Эти касательные пересекаются в точке К. Докажите, что точки В, С, К, D лежат на одной окружности.
20.36. Пусть стороны четырёхугольника равны а, Ь, с, d. Известно также, что в него можно вписать окружность и около него можно описать окружность. Докажите, что его площадь S можно вычислить по формуле
20.37. В окружность вписан четырёхугольник ABCD. Прямые АВ и CD пересекаются в точке Р, прямые ВС и AD пересекаются в точке О.
а) Докажите, что биссектрисы углов Р и О взаимно перпендикулярны,
б) Проверьте обратное утверждение.
20.38. В угол вписаны две окружности, которые касаются между собой. Четыре полученные точки касания являются вершинами четырёхугольника,
а) Докажите, что в него можно вписать окружность,
б) Пусть радиусы данных окружностей известны. Чему равен радиус окружности, вписанной в полученный четырёхугольник?
20.39. Рассматриваются всевозможные четырёхугольники с фиксированными сторонами. Докажите, что среди них существует четырёхугольник, который можно вписать в круг.
20.40. Диаметр окружности является основанием трапеции, вписанной в неё. Какая из таких трапеций имеет наибольший периметр?
20.41. В данную окружность вписаны четырёхугольники. Какой из них имеет:
а) наибольшую площадь;
б) наибольший периметр?
20.42. Вокруг окружности радиуса R описаны трапеции. В каких границах изменяются их:
