Геометрия 10-11 классы
Задачи к § 21
- 21.1. Докажите, что около правильной призмы можно описать сферу.
- 21.2. При каком условии в правильную призму можно вписать сферу?
- 21.3. Докажите, что около прямоугольного параллелепипеда можно описать сферу. Когда в него можно вписать сферу?
- 21.4. Пусть диагональ прямоугольного параллелепипеда составляет с его рёбрами углы φ1, φ2, φ3. Докажите, что cos2 φ1 + cos2 φ2 + cos2 φ3 = 1.
Задачи к п. 21.1
- 21.5. Сколько вершин, рёбер и граней имеет n-угольная призма?
- 21.6. Какую форму имеют боковые грани прямой призмы? Докажите, что плоскости этих граней перпендикулярны основанию призмы.
- 21.7. Объясните, почему:
- а) высота прямой призмы равна её боковому ребру;
- б) перпендикулярное сечение прямой призмы равно её основанию.
- 21.8. Нарисуйте прямую треугольную призму, у которой все рёбра равны. Нарисуйте её в трёх проекциях. Какой фигурой является её сечение:
- а) параллельное боковой грани;
- б) параллельное боковому ребру;
- в) перпендикулярное ребру основания;
- г) содержащее прямую, проходящую через центры её оснований?
- д) Какого вида треугольник может быть сечением такой призмы? А четырёхугольник?
- 21.9. В прямой треугольной призме, все рёбра которой равны, вычислите угол φ между:
- а) ребром основания и боковыми гранями, в которых оно не лежит;
- б) диагональю боковой грани и основания;
- в) скрещивающимися рёбрами;
- г) плоскостями боковых граней;
- д) плоскостью основания и плоскостью, содержащей диагонали двух боковых граней.
- 21.10. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 ребро основания равно 1, а боковое ребро равно 2. Вычислите:
- а) расстояние между боковыми рёбрами;
- б) расстояние между боковым ребром и плоскостью противоположной грани;
- в) |В1(АС)|;
- г) радиус описанной сферы;
- д) площадь сечения А1В1С.
- 21.11. Какой вид имеет треугольная призма, в которой есть:
- а) боковое ребро, перпендикулярное основанию;
- б) две боковые грани, перпендикулярные основанию;
- в) две боковые грани, являющиеся прямоугольниками;
- г) грань, перпендикулярная основанию;
- д) грань, являющаяся прямоугольником?
- 21.12. В треугольной призме АВСА1В1С1 вершина A1 проектируется в центр треугольника ABC и все её рёбра равны,
- а) Какую форму имеют боковые грани этой призмы?
- б) Нарисуйте высоты этой призмы из вершин С и C1.
- в) Нарисуйте перпендикулярное сечение этой призмы, проходящее через вершину A1.
- г) Нарисуйте проекцию вершины А1 на грань BCC1B1.
- д) Нарисуйте проекции верхней грани и всей призмы на плоскость (ABC).
- е) Нарисуйте проекцию грани A1B1C1 на плоскость (В1ВС).
- 21.13. В треугольной призме АBСА1B1С1 все рёбра равны и ∠A1AC = ∠A1AB = 60°. Вычислите угол φ между:
- а) боковым ребром и основанием;
- б) (А1С1) и (В1ВС);
- в) боковыми гранями и основанием;
- г) боковыми гранями.
Задачи к п. 21.2
- 21.21. В прямом параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 основание — ромб с углом 60° при вершине А и |АВ| = |АА1| = 1.
- Вычислите расстояния:
- а) от (A1D1) до (ABC);
- б) от (А1D1) до (ВВ1С1);
- в) от (АВ) до (CDD1);
- г) между плоскостями параллельных граней;
- д) между (АА1) и (CD).
- Найдите площади диагональных сечений.
- 21.22. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 грани ABCD и АВВ1А1 — квадраты, ∠AA1D1 = 120°.
- Вычислите углы между:
- а) (АВ) и (AA1D1);
- б) (АА1) и (АВС);
- в) (AD) и (CDD1);
- г) соседними гранями.
- Какая из диагоналей составляет с основанием больший угол?
|