26.1. Напишите формулу для объёма цилиндра вращения,
а) Выразите из неё высоту цилиндра, его радиус,
б) Пусть все линейные размеры цилиндра увеличились в два раза. Во сколько раз увеличился его объём?
в) Объём прямого цилиндра требуется уменьшить в два раза. Как это можно сделать?
г) Жидкость из полной цилиндрической пробирки переливают в другую, радиус которой в два раза меньше. Во сколько раз она должна быть выше?
д) Из проволоки диаметром d1, делают на волочильном станке проволоку диаметром d2. Какова длина полученной проволоки, если исходная длина L?
26.2.
а) В детали цилиндрической формы сделали сквозное цилиндрическое отверстие. Его радиус равен половине радиуса цилиндра. Какая часть объёма детали осталась?
б) С цилиндрической заготовки сняли при обработке 0,1 части радиуса. Какая часть объёма цилиндра осталась?
26.3. Как вы будете делить на равновеликие части торт, имеющий форму цилиндра?
26.4. Можно ли разделить цилиндр на две равновеликие, но не равные фигуры?
26.5.
а) В цилиндрическом сосуде находится жидкость. Как можно узнать, больше или меньше половины объёма сосуда налито?
б) В цилиндрическом сосуде была налита доверху вода. Сосуд наклонили на некоторый угол. Как узнать, какой объём воды вылился?
26.6. Прямоугольник со сторонами а и b вращают вокруг:
а) каждой из неравных сторон;
б) осей симметрии.
Найдите объём полученных фигур вращения.
26.7. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 2. При каком отношении между радиусом и высотой цилиндра его объём является наибольшим?
26.8. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 2. В каких границах находится объём цилиндра, если радиус цилиндра принадлежит промежутку:
Задачи на объём прямой призмы
26.9.
Диагональ куба равна 1. Найдите его объём.
Составьте и решите задачу, обратную данной в 1).
Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, если его диагональ равна 1 и составляет углы φ1, и φ2 с двумя его:
а) рёбрами;
б) гранями.
26.10. В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 проводится сечение через АВ. Вычислите объёмы полученных частей куба, если плоскость сечения составляет с плоскостью основания угол:
а) 30°;
б) 45°;
в) 60°.
26.11. Как разделить на две равновеликие части:
а) куб;
б) прямоугольный параллелепипед;
в) правильную призму?
26.12. Многогранник, являющийся частью куба, задан тремя проекциями (рис. 243). Какие надо сделать замеры на проекциях, чтобы вычислить его объём?
Рис. 243
26.13. Вычислите объём прямой треугольной призмы, если её боковое ребро равно большей из сторон основания и:
а) две стороны основания равны 1, а угол между ними равен 120°;
б) стороны основания 5, 6, 7;
в) сторона основания равна 1, а углы при ней равны 45° и 60°.
26.14. Площадь боковой грани правильной треугольной призмы равна 1. В каких границах лежит её объём?
26.15. В каких границах лежит объём:
а) правильной четырёхугольной призмы с диагональю, равной 1;
б) прямоугольного параллелепипеда, у которого одна сторона в два раза больше другой, а диагональ равна 1?
