Доказательство. Пусть даны две точки А (х1, у1, z1) и В (х2, у2, z2). Пусть прямая АВ не параллельна хотя бы одной оси, так что она, допустим, не параллельна оси z. Проведём через точки А и В прямые а и b, параллельные оси z и, следовательно, перпендикулярные плоскости ху (рис. 255). Они пересекут эту плоскость в точках А' и В' с координатами х1, у1 и x2, у2. Как известно из планиметрии, расстояние А'В' равно
Если z1 = z2, то отрезки АВ и А'В' являются противоположными сторонами прямоугольника (или совпадают, когда точки А и В лежат в плоскости ху). В этом случае z2 - z1 = 0 и А'В' = АВ. Таким образом, формула (2) и даёт формулу (1). Допустим, z1 ≠ z2. Параллельные прямые а и b лежат в одной плоскости. Проведём из точки А перпендикуляр АС на прямую b. Получаем прямоугольный треугольник ABC и прямоугольник АА'В'С. Тогда А'В' = АС и ВС = |z2 - z1|. По теореме Пифагора
Подставив сюда значение А'В' из (2) и ВС, получим (1). Замечание. Как равенство (2) является записью теоремы Пифагора в координатах, так и равенство (1) является пространственным аналогом теоремы Пифагора, записанным в координатах. 29.4 Метод координат Применение координат и алгебраических методов к исследованию геометрических объектов и к решению геометрических задач составляет раздел геометрии, называемый аналитической геометрией. Одним из её создателей был знаменитый французский философ и математик Рене Декарт (1596—1650), и прямоугольные координаты часто называют декартовыми. Применяя метод координат, можно решать задачи двух видов. Во-первых, задавая фигуры уравнениями и выражая в координатах различные геометрические соотношения, можно применять алгебру и анализ к решению геометрических задач, к доказательству теорем. Мы и начали с того, что, введя прямоугольные координаты, выразили через них основную геометрическую величину — расстояние между точками. Это был первый шаг в применении метода координат. Далее, из формулы (1) вытекает, например, что сфера радиуса R с центром в точке К (а, b, с) задаётся уравнением (х - а)2 + (у - b)2 + (z - с)2 = R2. (3) (Сравните это уравнение с уравнением окружности на плоскости.) Во-вторых, пользуясь координатами, можно истолковывать уравнения и неравенства геометрически и таким образом применять геометрию к алгебре и анализу. Графическое изображение функций — первый пример такого применения метода координат. Через метод координат геометрия и алгебра, соединяясь и взаимодействуя, дают богатые плоды, которые они не могли бы дать, оставаясь разделёнными. 29.5 Применения метода координат Начнём с совсем простого примера: выведем уравнение плоскости ху. Она задаётся уравнением z = 0, так как у каждой точки этой плоскости координата z = 0, и, наоборот, если у точки координата z = 0, то она лежит в плоскости ху. Теперь рассмотрим ещё раз задачу о взаимном расположении сферы и плоскости (см. п. 16.3). Можно так выбрать систему координат, что данная плоскость будет координатной плоскостью ху, а центр рассматриваемой сферы лежит на оси z в точке (0, 0, d), d > 0 (рис. 256).
Рис. 256 Тогда плоскость задаётся уравнением z = О, сфера — уравнением х2 + y2 + (z - d)2 = R2, а их пересечение — системой этих уравнений:
(поскольку координаты общих точек сферы и плоскости должны удовлетворять обоим уравнениям). Подставляя 2 = 0 в первое уравнение системы, упрощаем её и получаем систему
Ясно, что при 0 ≤ d < R, когда R2 - d2 > 0, эта система задаёт в плоскости ху окружность радиуса Если d = R, то х2 + у2 = 0, 2 = 0 и плоскость и сфера имеют единственную общую точку (0, 0, 0) (касаются в этой точке, рис. 256, б). Если же d > R, то R2 - d2 < 0 и у сферы и плоскости общих точек нет (рис. 256, а). Часто уравнение, задающее некоторую фигуру в пространстве, содержит не все переменные х, у, z. Например, плоскость ху задаётся уравнением 2 = 0. Наоборот, в уравнениях y = kx и х2 + у2 = r2 отсутствует переменная z. Вы знаете, что на координатной плоскости ху эти уравнения задают прямую I и окружность F (рис. 257, а). А что эти уравнения задают в пространстве? Уравнение y = kx в пространстве задаёт плоскость α, проходящую через прямую I и перпендикулярную плоскости ху (а значит, содержащую ось z; рис. 257,6). А уравнение х2 + у2 = r2 задаёт в пространстве бесконечный цилиндр вращения (рис. 257, в). Он образован прямыми, перпендикулярными плоскости ху и пересекающими её в точках окружности F.
Рис. 257 Зная эти несложные уравнения, уже можно решать задачи, которые обычными геометрическими средствами решить не просто. Например, что представляет собой пересечение двух бесконечных одинаковых цилиндров вращения, оси которых пересекаются и перпендикулярны (рис. 258)?
Рис. 258 Если оси этих цилиндров — координатные оси х и у, то цилиндры можно задать уравнениями у2 + z2 = r2 и х2 + z2 = г2. Координаты их общих точек удовлетворяют обоим этим уравнениям, а значит, и вытекающему из них уравнению х2 - у2 = 0. Уравнение х2 - у2 = 0 определяет пару плоскостей, заданных уравнениями у = х и у = -х (рис. 259).
Рис. 259 Как было сказано в п. 18.4, сечение цилиндра плоскостью является эллипсом. Поэтому два рассматриваемых цилиндра пересекаются по двум эллипсам, лежащим в плоскостях у = х и у = -х. Последняя задача подсказывает, как вырезать заготовку из жести, чтобы сделать, например, «колено» у трубы (см. рис. 253). Дело в том, что при развёртке цилиндра его эллиптическое сечение перейдёт в ... синусоиду! Убедитесь в этом сами. Вопросы для самоконтроля
Содержание
<">
|
(рис. 256, в).
