Геометрия
10-11 классы

Задачи к § 2

• 2.1. Пусть плоскости а и β пересекаются по прямой р ив плоскости а лежит прямая а, отличная от р. Докажите, что:
  • а) если а пересекает р, то а пересекает β;
  • б) обратно: если а пересекает β, то а пересекает р.
• 2.2. Докажите, что через прямую проходит бесконечно много плоскостей.

• 2.3. Пусть РАВС — тетраэдр. Нарисуйте его сечение плоскостью:
  • а) АРХ, где точка X лежит внутри ребра ВС;
  • б) PXY, где точка X лежит внутри ребра АВ, а точка Y— внутри ребра АС;
  • в) AXY, где точка X лежит внутри ребра РВ, а точка Y — внутри ребра ВС;
  • г) XYZ, где точка X лежит внутри ребра АС, точка Y — внутри ребра СВ, точка Z — внутри ребра СР.
• 2.4. Пусть РАВС — тетраэдр. Выберите точку К внутри РА, точку L внутри РВ, точку М внутри ВС так, что (KL) пересекает (АВ), (LM) пересекает (PC). Нарисуйте:
  • а) точку пересечения (KL) и (АВС);
  • б) прямую, по которой (ABC) пересекает (KLM);
  • в) точку пересечения (LM) и (АРС);
  • г) прямую, по которой (KLM) пересекает (АРС);
  • д) точку пересечения (АС) и (KLM);
  • е) сечение тетраэдра РАВС плоскостью KLM.
• 2.5. Нарисуйте сечение тетраэдра РАВС плоскостью XYZ, если:
  • а) X — точка внутри ребра РА, Y — внутри PC, Z — внутри АВ;
  • б) X— точка внутри ребра РВ, Y — внутри AC, Z — внутри АВ;
  • в) X — точка внутри ребра РА, Y — внутри РВ, Z — внутри ВС.
• 2.6. Пусть ABCD — правильный тетраэдр, А₁ — центр грани BCD, В₁ — центр грани ACD, С₁ — центр грани ABD, D₁ — центр грани ABC. Нарисуйте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через:
  • a) (AD) и (DD₁);
  • б) (АС) и (АА₁);
  • в) (АС) и (CC₁);
  • г) (DD₁) и (ВВ₁).

• 2.7. Нарисуйте сечение правильного тетраэдра РАВС с ребром 3, проходящее через:
  • а) РВ и середину АС — точку К;
  • б) КВ и середину РА — точку L;
  • в) KL и середину АВ — точку М.

  Вычислите площадь каждого сечения.

• 2.8. Нарисуйте тетраэдр. Установите форму его сечения плоскостью, которая проходит через:
  • а) боковое ребро;
  • б) среднюю линию основания;
  • в) вершину и точку внутри противоположной грани;
  • г) середины двух противоположных рёбер.