1.1. На плоскости а лежит равносторонний треугольник ABC, стороны которого равны 1. Точка К удалена от точек А и В на расстояние 2. Можете ли вы вычислить расстояние от К до вершины С? Можете ли узнать, в каких границах лежит это расстояние?
1.2. Пусть РАВС — правильный тетраэдр с ребром 2. Точка К—середина ребра РА, точка L — середина РВ, точка М — середина ВС, а N — середина АС.
а) Вычислите KL, LM, MN, NK.
б) Вычислите КМ, LN.
в) Вычислите углы NKL, LMN, KLM, MNK.
г) Докажите, что KLMN — прямоугольник,
д) Докажите, что КМ — общий перпендикуляр прямых РА и ВС, a LN — общий перпендикуляр прямых РВ и АС.
1.3. Два отрезка АВ и CD лежат на скрещивающихся прямых. Известны их длины, а также расстояние между их концами: AC, AD, ВС, BD. Как вычислить расстояния между серединами этих отрезков? Выведите формулу для искомого расстояния.
1.4. Пусть РАВС — правильный тетраэдр с ребром 2, точка О — центр грани ABC. Вычислите:
а) РО;
б) расстояние от О до середины бокового ребра;
в) расстояние от О до центра боковой грани;
г) расстояние между центрами двух граней.
1.5. В правильном тетраэдре РАВС, ребро которого равно 1, проведено сечение плоскостью BNO, где точка N — середина РА и точка О — середина PC. Вычислите длину общего отрезка этого сечения и сечения плоскостью:
а) РВК, где К — середина АС;
б) ACM, где М — середина РВ;
в) PLS, где L — середина 8С и S - середина АВ;
г) CMN.
1.6.
а) Докажите, что существует прямая, которая пересекает каждое из двух противоположных рёбер правильного тетраэдра под прямым углом.
б) Существует ли такая прямая для любой правильной треугольной пирамиды?
Применяем компьютер
1.7. Найдите кратчайшую замкнутую четырёхзвенную ломаную, вершины которой лежат на сторонах данного квадрата — по одной вершине внутри каждой его стороны.
1.8. Внутри квадрата требуется построить прямоугольник наименьшего периметра, причём вершины прямоугольника находятся на сторонах квадрата, а каждая его сторона параллельна хотя бы одной диагонали квадрата. С другой стороны, внутри того же квадрата требуется построить прямоугольник наибольшей площади, причём вершины прямоугольника находятся на сторонах данного квадрата, а каждая его сторона параллельна хотя бы одной диагонали квадрата. Ответьте на вопрос: это один прямоугольник или разные прямоугольники?
1.9. Прямая р проходит через вершину А квадрата ABCD, причём квадрат лежит с одной стороны от данной прямой. Известны длины перпендикуляров, проведённых из точек В и D на прямую р. Найдите длину перпендикуляра, проведённого на прямую р из вершины С квадрата.
1.10. Внутри угла дана точка. Можно ли через неё провести такой отрезок с концами на сторонах угла, чтобы он в этой точке делился пополам?
1.11. Через данную точку внутри угла провести прямую так, чтобы эта прямая от данного угла отсекала треугольник наименьшей площади.
1.12. Постройте квадрат, если известны его центр и две точки на противоположных сторонах.
1.13. Дан равносторонний треугольник ABC. Из вершины А по стороне АС двинулась точка М, из вершины С по лучу ВС, удаляясь от точки В, двинулась точка N. Скорости этих точек одинаковы, движение начато одновременно. Найдите наименьшее значение MN.
1.14. ABD и BCD — равносторонние треугольники. По отрезку АВ от В к А равномерно движется точка Р, по отрезку ВС от С к В с такой же скоростью движется точка О. Они начали движение одновременно. Найдите наименьшее и наибольшее значения угла PDQ.
1.15. В неравнобедренном треугольнике ABC (АВ>АС) из вершины А провели его медиану AM и биссектрису AL. Выясните, какой из этих отрезков длиннее.
1.16. Дан остроугольный треугольник ABC. Поведены три его высоты AA1, BB1, CC1. Пусть О — точка их пересечения. Ответьте на вопросы:
Какой из отрезков ОА, ОВ, ОС наименьший?
Какой из отрезков OA1, OB1, ОС1 наименьший?
1.17. Дан равносторонний треугольник ABC. На его стороне АС с другой стороны от точки В построен ромб ACLK. Зависит ли угол KBL от положения стороны KL?
1.18. Нарисуйте пятиугольную звезду — замкнутую ломаную ABCDEA. Найдите сумму её углов в вершинах А, В, С, D, Е. Сохранится ли сумма этих углов, если чуть «пошевелить» одну из вершин звезды?
Итоги главы I
Основными результатами § 1—3 можно считать следующие утверждения:
Прямую в пространстве можно задать:
двумя её точками (теорема 1 п. 2.1);
как пересечение двух плоскостей (аксиома 2 п. 1.2).
Плоскость в пространстве можно задать:
тремя её точками, не лежащими на одной прямой (теорема 2 п. 2.2);
прямой и не лежащей на ней точкой (теорема 3 п. 2.3);
двумя пересекающимися прямыми (теорема 4 п. 2.4);
парой параллельных прямых (последняя фраза в п. 3.1).
В главе I мы учились рисовать пространственные фигуры в параллельной проекции. Уметь наглядно и правильно рисовать пространственные фигуры очень важно для успешного овладения стереометрией.
Наконец, в § 5 мы проанализировали теоремы § 2 и 3, выяснили, что в них доказаны как утверждения о существовании некоторых объектов, так и утверждения об их единственности. А задачи на построение фигур в геометрии и являются предложениями (теоремами) о существовании этих фигур, доказываемыми конструктивно. Как это можно осуществить, проиллюстрировано для пирамид и призм.
<">
