Геометрия
7-9 классы

§ 3. Прямоугольные треугольники

Некоторые свойства прямоугольных треугольников

Рассмотрим свойства прямоугольных треугольников, которые устанавливаются с помощью теоремы о сумме углов треугольника.

В самом деле, сумма углов треугольника равна 180°, а прямой угол равен 90°, поэтому сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, в котором угол А — прямой, ∠B = 30° и, значит, ∠C = 60° (рис. 131, а). Докажем, что AC = ½BC .

Приложим к треугольнику АВС равный ему треугольник ABD так, как показано на рисунке 131, б. Получим треугольник BCD, в котором ∠B = ∠D = 60°, поэтому DC = BC. Но AC = ½BC . Следовательно, AC = ½DC , что и требовалось доказать.

Рис. 131

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, у которого катет АС равен половине гипотенузы ВС (рис. 132, а). Докажем, что ∠ABC = 30°.

Приложим к треугольнику АВС равный ему треугольник ABD так, как показано на рисунке 132, б. Получим равносторонний треугольник BCD. Углы равностороннего треугольника равны друг другу (объясните почему), поэтому каждый из них равен 60°. В частности, ∠DBC = 60°. Но ∠DBC = 2∠ABC. Следовательно, ∠ABC = 30°, что и требовалось доказать.

Рис. 132

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Так как в прямоугольном треугольнике угол между двумя катетами прямой, а любые два прямых угла равны, то из первого признака равенства треугольников следует:

Далее, из второго признака равенства треугольников следует:

Рассмотрим ещё два признака равенства прямоугольных треугольников.

Теорема

Доказательство

Из свойства 1⁰ п. 35 следует, что в таких треугольниках два других острых угла также равны, поэтому треугольники равны по второму признаку равенства треугольников, т. е. по стороне (гипотенузе) и двум прилежащим к ней углам. Теорема доказана.

Теорема

Доказательство

Рассмотрим треугольники АBС и А₁B₁С₁, у которых углы С и C₁ — прямые, АB = А₁B₁, BС = B₁С₁ (рис. 133, а, б). Докажем, что ΔАВС = ΔA₁B₁C₁.

Рис. 133

Так как ∠C = ∠Csub>1, то треугольник АВС можно наложить на треугольник А₁B₁С₁ так, что вершина С совместится с вершиной С₁, а стороны СА и СВ наложатся соответственно на лучи С₁А₁ и С₁B₁. Поскольку СB = С₁B₁, то вершина B совместится с вершиной B₁. Но тогда вершины А и А₁ также совместятся. В самом деле, если предположить, что точка А совместится с некоторой другой точкой А₂ луча С₁А₁, то получим равнобедренный треугольник А₁В₁А₂, в котором углы при основании А₁А₂ не равны (на рисунке 133, б ∠A₂ — острый, a ∠A₁ — тупой как смежный с острым углом В₁А₁С₁). Но это невозможно, поэтому вершины А и А₁ совместятся.

Следовательно, полностью совместятся треугольники АВС и А₁В₁С₁, т. е. они равны. Теорема доказана.

Уголковый отражатель

Мы знаем, что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. Это свойство лежит в основе конструкции простейшего уголкового отражателя. Прежде чем описать его устройство, рассмотрим следующую задачу.

Задача

Угол между зеркалами ОА и ОВ равен 90°. Луч света, падающий на зеркало ОА под углом α, отражается от него, а затем отражается от зеркала ОВ (рис. 134). Доказать, что падающий и отражённый лучи параллельны.

Рис. 134

Решение

По закону отражения света падающий луч SM и луч MN составляют с прямой ОА равные углы α. Так как треугольник MON прямоугольный, то угол MNO равен 90° - α. Применяя опять закон отражения света, получаем, что луч MN и отражённый луч NT составляют с прямой ОВ равные углы. Обращаясь к рисунку 134, мы видим, что ∠SMN = 180° - 2α, ∠MNT = 180° - 2 (90° - α) = 2α, поэтому ∠SMN + ∠MNT = 180°.

Следовательно, падающий луч SM и отражённый луч NT параллельны, что и требовалось доказать.

Простейший уголковый отражатель представляет собой несколько зеркал, составленных так, что соседние зеркала образуют угол в 90°. На рисунке 135 в виде ломаной линии схематически изображён такой отражатель. Представим себе, что на этот отражатель падает пучок параллельных лучей (на рисунке эти лучи изображены чёрными линиями со стрелками). Тогда отражённые лучи будут параллельны падающим лучам (эти лучи изображены цветными линиями со стрелками). Таким образом, уголковый отражатель «возвращает назад» падающий на него пучок параллельных лучей при любом расположении отражателя по отношению к падающему пучку лучей.

Рис. 135

Это свойство уголкового отражателя используется в технике. Так, уголковый отражатель устанавливается на заднем крыле велосипеда для того, чтобы «возвращать назад» свет автомобильных фар. Это даёт возможность водителю автомобиля видеть ночью идущий впереди велосипед. Отметим, что уголковый отражатель, используемый на практике, устроен более сложно, чем описанный простейший, но принцип его действия тот же, что и у простейшего уголкового отражателя.

Уголковый отражатель был установлен на одной из отечественных автоматических станций, запущенных на Луну. С поверхности Земли участок Луны, на котором находилась автоматическая станция с уголковым отражателем, был освещён лучом лазера. Луч «вернулся» в то же место, где находился лазер. Измерив точное время от момента включения лазера до момента возвращения сигнала, удалось с весьма высокой точностью найти расстояние от поверхности Земли до поверхности Луны.

Задачи к § 3

254. Найдите углы равнобедренного прямоугольного треугольника.

255. В равнобедренном треугольнике CDE с основанием СЕ проведена высота CF. Найдите ∠ECF, если ∠D = 54°.

256. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 26,4 см. Найдите гипотенузу треугольника.

257. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С внешний угол при вершине А равен 120°, АС + АВ = 18 см. Найдите АС и АВ.

258. Из середины D стороны ВС равностороннего треугольника АВС проведён перпендикуляр DM к прямой АС. Найдите AM, если АВ= 12 см.

259. Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120°. Высота, проведённая к боковой стороне, равна 9 см. Найдите основание треугольника.

260. Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, равна 7,6 см, а боковая сторона треугольника равна 15,2 см. Найдите углы этого треугольника.

261. Докажите, что в равнобедренном треугольнике высоты, проведённые из вершин основания, равны.

262. В треугольниках АВС и A₁B₁C₁ углы А и А₁ — прямые, BD и B₁D₁ — биссектрисы. Докажите, что ΔАВС = ΔА₁В₁С₁, если ∠B = ∠B₁ и ВD = В₁D₁.

263. Высоты, проведённые к боковым сторонам АВ и АС остроугольного равнобедренного треугольника АВС, пересекаются в точке М. Найдите углы треугольника, если ∠BMC = 140°.

264. Высоты AA₁ и ВВ₁ треугольника АВС пересекаются в точке М. Найдите ∠AMB, если ∠A = 55°, ∠B = 67°.

265. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведены биссектриса AF и высота АН. Найдите углы треугольника AHF, если ∠B= 112°.

266. На сторонах угла О отмечены точки А и В так, что ОА = ОВ. Через эти точки проведены прямые, перпендикулярные к сторонам угла и пересекающиеся в точке С. Докажите, что луч ОС — биссектриса угла О.

267. Докажите, что два остроугольных треугольника равны, если сторона и высоты, проведённые из концов этой стороны, одного треугольника соответственно равны стороне и высотам, проведённым из концов этой стороны, другого треугольника.

268. Сформулируйте и докажите утверждение о признаке равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу.

269. Докажите, что ΔАВС ∠ ΔА₁В₁С₁, если ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁ и ВН = B₁H₁, где ВН и В₁H₁ — высоты ΔАВС и ΔA₁B₁C₁.

270. Внутри угла дана точка А. Постройте прямую, проходящую через точку А и отсекающую на сторонах угла равные отрезки.

Ответы к задачам § 3. Прямоугольные треугольники

254. 45°, 45° и 90°.

255. 27°.

256. 17,6 см.

257. АС = 6 см, АВ= 12 см.

258. 9 см.

259. 18 см.

260. 30°, 30° и 120°.

261. Указание. Воспользоваться первой теоремой п. 36.

262. Указание. Воспользоваться признаками равенства прямоугольных треугольников. 263. 70°, 70° и 40°.

264. 122°. 265. 90°, 39° и 51°.

267. Указание. Сначала доказать, что углы, прилежащие к равным сторонам данных треугольников, равны.

269. Указание. Воспользоваться задачей 268.

270. Указание. Сначала провести биссектрису угла и воспользоваться задачей 133.