Геометрия
7-9 классы

       

Задачи повышенной трудности к главам I-IV

Задачи повышенной трудности к главе I

322. Пусть а — число, выражающее длину отрезка АВ при единице измерения CD, а b — число, выражающее длину отрезка CD при единице измерения АВ. Как связаны между собой числа а и b?

323. Длина отрезка АВ при единице измерения E1F1 выражается числом т, а при единице измерения E2F2 — числом n. Каким числом выражается длина отрезка E1F1 при единице измерения E2F2?

324. Пусть ∠hk — меньший из двух смежных углов hk и hl. Докажите, что

325. Пять прямых пересекаются в одной точке (рис. 147). Найдите сумму углов 1, 2, 3, 4 и 5.


Рис. 147

326. Даны шесть попарно пересекающихся прямых. Известно, что через точку пересечения любых двух прямых проходит по крайней мере ещё одна из данных прямых. Докажите, что все эти прямые проходят через одну точку.

327. Даны шесть точек. Известно, что прямая, проходящая через любые две точки, содержит по крайней мере ещё одну из данных точек. Докажите, что все эти точки лежат на одной прямой.

Ответы к задачам

    322. ab= 1.

    323. n/m

    324. Указание. Воспользоваться свойством смежных углов: ∠hk + ∠hl = 180°.

    325. 180°.

    326. Указание. Пусть три из данных прямых проходят через точку А. Используя метод от противного, доказать, что каждая из оставшихся трёх прямых проходит через эту точку.

    327. Указание. Пусть три из данных точек лежат на прямой d. Используя метод от противного, доказать, что каждая из оставшихся четырёх точек лежит на прямой d.

Задачи повышенной трудности к главе II

328. Точки С1 и С2 лежат по разные стороны от прямой АВ и расположены так, что АС1 = ВС2 и ∠BAC1 = ∠ABC2. Докажите, что прямая С1С2 проходит через середину отрезка АВ.

329. Докажите, что если угол, прилежащая к нему сторона и сумма двух других сторон одного треугольника соответственно равны углу, прилежащей к нему стороне и сумме двух других сторон другого треугольника, то такие треугольники равны.

330. Сторона и два угла одного треугольника равны какой-то стороне и каким-то двум углам другого. Могут ли эти треугольники быть неравными?

331. Две стороны и угол одного треугольника равны каким-то двум сторонам и углу другого треугольника. Могут ли эти треугольники быть неравными?

332. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О. Докажите, что OC = OD, если АС = АО = ВО = BD.

Ответы к задачам

    328. Указание. Сначала доказать, что ΔАОС1 = ΔВОС2, где О — середина отрезка АВ.

    329. Указание. Пусть в треугольниках АВС и А1В1С1 ∠A = ∠A1, АС = А1С1 и АВ + ВС = А1В1 + В1С1. Продолжить стороны АВ и А1В1 на отрезки BD = BC и B1D1 = В1С1 и рассмотреть треугольники ADC и A1D1C1.

    330. Могут. Например, равнобедренный треугольник АВС с основанием АВ и треугольник ABD, где D — такая точка на стороне ВС, что АВ = AD.

    331. Могут. Рассмотрим, например, равнобедренный треугольник АВС с основанием АВ и отметим какую-нибудь точку D на продолжении стороны АВ. Тогда треугольники ADC и DBC обладают указанным свойством, но не являются равными.

    332. Указание. Воспользоваться задачей 174.

Задачи повышенной трудности к главам: Глава III и IV

333. Прямые, содержащие биссектрисы внешних углов при вершинах В и С треугольника АВС, пересекаются в точке О. Найдите угол ВОС, если угол А равен α.

334. Через каждую вершину данного треугольника проведена прямая, перпендикулярная к биссектрисе треугольника, исходящей из этой вершины. Отрезки этих прямых вместе со сторонами данного треугольника образуют три треугольника. Докажите, что углы этих треугольников соответственно равны.

335. В каждом из следующих случаев определите вид треугольника:

    а) сумма любых двух углов больше 90°;
    б) каждый угол меньше суммы двух других углов.

336 Докажите, что угол треугольника является острым, прямым или тупым, если медиана, проведённая из вершины этого угла, соответственно больше, равна или меньше половины противоположной стороны.

337. Внутри равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС взята такая точка М, что ∠MBC = 30°, ∠MCB = 10°. Найдите угол АМС, если ∠BAC = 80°.

338. Докажите, что любой отрезок с концами на разных сторонах треугольника не больше наибольшей из сторон треугольника.

339 Отрезок ВВ1 — биссектриса треугольника АВС. Докажите, что ВА > В1А и ВС > В1С.

340. Внутри треугольника АВС взята такая точка D, что AD = AB. Докажите, что АС > АВ.

341. В треугольнике АВС сторона АВ больше стороны АС, отрезок AD — биссектриса. Докажите, что ∠ADB > ∠ADC и BD > CD.

342. Докажите теорему: если в треугольнике биссектриса является медианой, то треугольник равнобедренный.

343. Две стороны треугольника не равны друг другу. Докажите, что медиана, проведённая из их общей вершины, составляет с меньшей из сторон больший угол.

344. в треугольнике АВС стороны АВ и АС не равны, отрезок AM соединяет вершину А с произвольной точкой М стороны ВС. Докажите, что треугольники АМВ и АМС не равны друг другу.

345. Через вершину А треугольника АВС проведена прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла А, а из вершины В проведён перпендикуляр ВН к этой прямой. Докажите, что периметр треугольника ВСН больше периметра треугольника АВС.

346. В треугольнике АВС, где АВ < АС, отрезок AD — биссектриса, отрезок АН — высота. Докажите, что точка Н лежит на луче DB.

347. Докажите, что в неравнобедренном треугольнике основание биссектрисы треугольника лежит между основаниями медианы и высоты, проведённых из этой же вершины.

348. Докажите, что в прямоугольном треугольнике с неравными катетами биссектриса прямого угла делит угол между высотой и медианой, проведёнными из той же вершины, пополам.

349. Медиана и высота треугольника, проведённые из одной вершины угла треугольника, делят этот угол на три равные части. Докажите, что треугольник прямоугольный.

350. В треугольнике АВС высота АА1 не меньше стороны ВС, а высота ВВ1 не меньше стороны АС. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный и прямоугольный.

Задачи на построение

Рассмотрим схему, по которой обычно решают задачи на построение циркулем и линейкой. Она состоит из четырёх частей:

    1) Отыскание способа решения задачи путём установления связей между искомыми элементами и данными задачи. Эта часть называется анализом задачи. Анализ даёт возможность составить план решения задачи на построение.
    2) Выполнение построения по намеченному плану.
    3) Доказательство того, что построенная фигура удовлетворяет условиям задачи.
    4) Исследование задачи, т. е. выяснение вопроса о том, при любых ли данных задача имеет решение, и если имеет, то сколько решений. В тех случаях, когда задача достаточно простая, отдельные части, например анализ или исследование, опускаются. Так мы поступали при решении простейших задач на построение. Рассмотрим теперь более сложные задачи.

351. Постройте треугольник по двум сторонам и высоте к третьей стороне.

Решение

Даны три отрезка M1N1, MN2, M3N3 (рис. 148, а). Требуется, построить такой треугольник АВС, у которого две стороны, скажем АВ и АС, равны соответственно данным отрезкам M1N1 и M2N2, а высота АН равна отрезку M3N3. Проведём решение задачи по описанной схеме.


Рис. 148

Анализ

Допустим, что искомый треугольник АВС построен (рис. 148, б). Мы видим, что сторона АВ и высота АН являются гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника АВН. Поэтому построение треугольника АВС можно провести по такому плану: сначала построить прямоугольный треугольник АВН, а затем достроить его до всего треугольника АВС.

Построение

Строим прямоугольный треугольник АВН, у которого гипотенуза АВ равна отрезку M1N1, а катет АН равен данному отрезку M3N3. Как это сделать, мы знаем (задача 314, в). На рисунке 149, а изображён построенный треугольник АВН. Затем проводим окружность радиуса M2N2 с центром в точке А. Одну из точек пересечения этой окружности с прямой ВН обозначим буквой С. Проведя отрезки ВС и АС, получим искомый треугольник АВС (рис. 149, б).


Рис. 149

Доказательство

Треугольник АВС действительно искомый, так как по построению сторона АВ равна M1N1, сторона АС равна M2N2, а высота АН равна M3N3, т. е. треугольник АВС удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Нетрудно сообразить, что задача имеет решение не при любых данных отрезках M1N1, M2N2, M3N3. В самом деле, если хотя бы один из отрезков M1N1 и M2N2 меньше M3N3, то задача не имеет решения, так как наклонные АВ и АС не могут быть меньше перпендикуляра АН. Задача не имеет решения и в том случае, когда M1N1 = M2N2 = M3N3 (объясните почему). В остальных случаях задача имеет решение. Если M1N1 > M3N3, a M2N2 = M3N3, то задача имеет единственное решение: в этом случае сторона АС совпадает с высотой АН и искомый треугольник является прямоугольным (рис. 149, в). Если M1N1 > M3N3, a M2N2 = M1N1, то задача также имеет единственное решение: в этом случае треугольник АВС равнобедренный (рис. 149, г). И наконец, если M1N1 > M3N3, M2N2 > M3N3 и M1N1 ≠ M2N2 то задача имеет два решения — треугольники АВС и АВС, на рисунке 149, д.

352. Даны две точки А и В и прямая а, не проходящая через эти точки. На прямой а постройте точку, равноудалённую от точек А и В. Всегда ли задача имеет решение?

353. Постройте точку, лежащую на данной окружности и равноудалённую от концов данного отрезка. Сколько решений может иметь задача?

354. Через три данные точки проведите окружность. Всегда ли задача имеет решение?

355. Точки А и В лежат по одну сторону от прямой а. Постройте точку М прямой а так, чтобы сумма AM + МВ имела наименьшее значение, т. е. была бы меньше суммы АХ + ХВ, где X — любая точка прямой а, отличная от М.

356. Постройте прямоугольный треугольник АВС, если даны острый угол В и биссектриса BD.

357. На данной окружности постройте точку, равноудалённую от двух данных пересекающихся прямых. Сколько решений может иметь задача?

358. Даны три попарно пересекающиеся прямые, не проходящие через одну точку. Постройте точку, равноудалённую от этих прямых. Сколько решений имеет задача?

359. Дана окружность с центром О и точка А вне её. Проведите через точку А прямую, пересекающую окружность в точках В и С таких, что АВ = ВС.

360. Постройте треугольник по периметру, одному из углов и высоте, проведённой из вершины другого угла.

361. Постройте треугольник по периметру и двум углам.

362. Постройте треугольник по стороне, разности углов при этой стороне и сумме двух других сторон.

Ответы к задачам

    333. 90° - а/2

    335. а) Остроугольный; б) остроугольный.

    336. Указание. Воспользоваться соотношениями между сторонами и углами треугольника и теоремой о сумме углов треугольника.

    337. 70°. Указание. Пусть О — точка пересечения биссектрисы угла А и прямой ВМ. Сначала доказать равенство треугольников АОС и МОС.

    338. Указание. Соединить один из концов отрезка с вершиной треугольника и воспользоваться задачей 312.

    339. Указание. Воспользоваться задачей 173, а также соотношениями между сторонами и углами треугольника.

    340. Указание. Продолжить отрезок AD до пересечения с ВС и воспользоваться задачей 312.

    341. Указание. Отметить на стороне АВ такую точку С1, что АС1 = АС, и рассмотреть треугольник BC1D.

    342. Указание. Доказать методом от противного.

    343. Указание. Пусть АВС — данный треугольник, АВ > ВС, ВМ — медиана. Отметить такую точку Е, что М является серединой отрезка BE, и рассмотреть треугольник АВЕ.

    344. Указание. Воспользоваться задачей 173.

    345. Указание. Продолжить отрезок В А на отрезок AD = АС и, рассмотрев ΔDHB, воспользоваться неравенством треугольника.

    346. Указание. Воспользоваться задачей 341.

    347. Указание. Воспользоваться задачами 343 и 346.

    349. Указание. Пусть в треугольнике АВС медиана AM и высота АН делят угол А на три равных угла ВАН, НАМ и MAC. Провести перпендикуляр MD к стороне АС и доказать сначала, что MD = 1/2MC

    350. Указание. Учесть, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

    352. Нет. Указание. Воспользоваться задачей 160.

    353. Два, одно или ни одного. Указание. Воспользоваться задачей 160.

    354. Задача имеет одно решение, если данные точки не лежат на одной прямой, и не имеет решения, если эти точки лежат на одной прямой. Указание. Воспользоваться задачей 160.

    355. Указание. Сначала построить такую точку А1, что прямая а проходит через середину отрезка АА1 перпендикулярно к нему, а затем провести отрезок А1В.

    357. Четыре, три, два, одно или ни одного. Указание. Воспользоваться задачей 311.

    358. Четыре. Указание. Воспользоваться задачей 311.

    359. Указание. Сначала построить треугольник OAD, в котором AD = R и OD = 2R, где R — радиус данной окружности.

    360. Указание. Пусть даны острый угол А, высота ВН искомого треугольника АВС и отрезок PQ, равный его периметру. Построить сначала ΔАВН, а затем такую точку D на луче АН, что AD + АВ = PQ.

    361. Указание. Построить сначала треугольник, у которого сторона равна данному периметру, а углы, прилежащие к ней, равны половинам данных углов.

    362. Указание. Пусть ВС, АС + АВ, ∠B - ∠C — данные элементы искомого треугольника АВС. На продолжении стороны СА за точку А отложить отрезок АА1, равный отрезку АВ. Построить сначала ΔСВА1.

Рейтинг@Mail.ru