Геометрия
7-9 классы

       

§ 2. Параллелограмм и трапеция

Параллелограмм

Определение

Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

На рисунке 157 изображён параллелограмм ABCD: АВ || CD, AD || ВС. Параллелограмм является выпуклым четырёхугольником (см. задачу 378).


Рис. 157

Рассмотрим некоторые свойства параллелограмма.

10. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

Рассмотрим параллелограмм ABCD (рис. 158). Диагональ АС разделяет его на два треугольника: АВС и ADC. Эти треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам (АС — общая сторона, ∠1 = ∠2 и ∠3 = ∠4 как накрест лежащие углы при пересечении секущей АС параллельных прямых АВ и CD, AD и ВС соответственно). Поэтому

    AB = CD, AD = ВС и ∠B = ∠D.


Рис. 158

Далее, пользуясь равенствами углов 1 и 2, 3 и 4, получаем

    ∠A = ∠1 + ∠3 = ∠2 + ∠4 = ∠C.

20. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.


Рис. 159

Пусть О — точка пересечения диагоналей АС и BD параллелограмма ABCD (рис. 159). Треугольники АОВ и COD равны по стороне и двум прилежащим углам (АВ = CD как противоположные стороны параллелограмма, ∠1 = ∠2 и ∠3 = ∠4 как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АВ и CD секущими АС и BD соответственно). Поэтому АО = ОС и OB = OD, что и требовалось доказать.


Рис. 160

Рисунок 160 иллюстрирует все рассмотренные свойства.

Признаки параллелограмма

10. Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник — параллелограмм..

Пусть в четырёхугольнике ABCD стороны АВ и CD параллельны и AB = CD (см. рис. 158).

Проведём диагональ АС, разделяющую данный четырёхугольник на два треугольника: АВС и CD А. Эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними (АС — общая сторона, АВ = CD по условию, ∠1 = ∠2 как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АВ и CD секущей АС), поэтому ∠3 = ∠4. Но углы 3 и 4 накрест лежащие при пересечении прямых AD и ВС секущей АС, следовательно, AD || ВС.

Таким образом, в четырёхугольнике ABCD противоположные стороны попарно параллельны, а значит, четырёхугольник ABCD — параллелограмм.

20. Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Проведём диагональ АС данного четырёхугольника ABCD, разделяющую его на треугольники АВС и CD А (см. рис. 158). Эти треугольники равны по трём сторонам (АС — общая сторона, AB = CD и BC = DA по условию), поэтому ∠1 = ∠2. Отсюда следует, что АВ || CD. Так как AB = CD и АВ || CD, то по признаку 10 четырёхугольник ABCD — параллелограмм.

30. Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Рассмотрим четырёхугольник ABCD, в котором диагонали АС и BD пересекаются в точке О и делятся этой точкой пополам (см. рис. 159). Треугольники АОВ и COD равны по первому признаку равенства треугольников (АО = ОС, BO = OD по условию, ∠AOB = ∠COD как вертикальные углы), поэтому AB = CD и ∠1 = ∠2. Из равенства углов 1 и 2 следует1, что АВ || CD.

Итак, в четырёхугольнике ABCD стороны АВ и CD равны и параллельны, значит, по признаку 10 четырёхугольник ABCD — параллелограмм.

Трапеция

Трапецией называется четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а две другие стороны — боковыми сторонами (рис. 161).


Рис. 161

Трапеция называется равнобедренной, если её боковые стороны равны (рис. 162, а).

Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной (рис. 162, б).


Рис. 162

Задачи

371. Докажите, что выпуклый четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если:

    a) ∠BAC = ∠ACD и ∠BCA = ∠D АС;
    б) АВ || CD, ∠A = ∠C.

372. Периметр параллелограмма равен 48 см.

Найдите стороны параллелограмма, если:

    а) одна сторона на 3 см больше другой;
    б) разность двух сторон равна 7 см;
    в) одна из сторон в два раза больше другой.

373. Периметр параллелограмма ABCD равен 50 см, ∠C = 30°, а перпендикуляр ВН к прямой CD равен 6,5 см. Найдите стороны параллелограмма.

374. Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке К. Найдите периметр этого параллелограмма, если ВК = 15 см, КС = 9 см.

375. Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки 7 см и 14 см.

376. Найдите углы параллелограмм: ABCD, если:

    a) ∠A = 84°;
    б) ∠A - ∠B = 55°;
    в) ∠A+∠C = 142°б
    д) ∠CAD = 16°, ∠ACD = 37°.

377. В параллелограмме MNPQ проведён перпендикуляр NH к прямой MQ, причём точка Н лежит на стороне MQ. Найдите стороны и углы параллелограмма, если известно, что МН = 3 см, HQ = 5 см, ∠MNH = 30°.

378. Докажите, что параллелограмм является выпуклым четырёхугольником.

Решение

Рассмотрим параллелограмм ABCD (см. рис. 157) и докажем, что он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Возьмём, например, прямую АВ. Отрезок CD не имеет общих точек с прямой АВ, так как АВ || CD. Значит, этот отрезок лежит по одну сторону от прямой АВ. Но тогда и отрезки ВС и AD лежат по ту же сторону от прямой АВ. Таким образом, параллелограмм ABCD лежит по одну сторону от прямой АВ.

379. Из вершин В и D параллелограмма ABCD, у которого АВ ≠ ВС и угол А острый, проведены перпендикуляры ВК и DM к прямой АС. Докажите, что четырёхугольник BMDK — параллелограмм.

380. На сторонах АВ, ВС, CD и DA четырёхугольника ABCD отмечены соответственно точки М, N, Р и Q так, что АМ = СР, BN = DQ, BM = DP, NC = QA. Докажите, что ABCD и MNPQ — параллелограммы.

381. На рисунке 163 изображены два одинаковых колеса тепловоза. Радиусы О1А и О2В равны. Стержень АВ, длина которого равна расстоянию О1О2 между центрами колёс, передаёт движение от одного колеса к другому. Докажите, что отрезки АВ и О1О2 либо параллельны, либо лежат на одной прямой.


Рис. 163

382. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что четырёхугольник A1B1C1D1, вершинами которого являются середины отрезков ОА, ОВ, ОС и OD, — параллелограмм.

383. На диагонали BD параллелограмма ABCD отмечены две точки Р и Q так, что РВ = QD. Докажите, что четырёхугольник APCQ — параллелограмм.

384. Через середину М стороны АВ треугольника АВС проведена прямая, параллельная стороне ВС. Эта прямая пересекает сторону АС в точке N. Докажите, что AN = NC.

Решение

Через точку С проведём прямую, параллельную прямой АВ, и обозначим буквой D точку пересечения этой прямой с прямой MN (рис. 164). Так как AM = МВ по условию, а МВ = CD как противоположные стороны параллелограмма BCDM, то AM = DC. Треугольники AMN и CDN равны по второму признаку равенства треугольников (AM = CD, ∠1=∠2 и ∠3 = ∠4 как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АВ и CD секущими АС и MD), поэтому AN = NC.


Рис. 164

385. Докажите теорему Фалеса1: если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

Решение

Пусть на прямой l1 отложены равные отрезки А1А2, А2А3, А3А4, ... и через их концы проведены параллельные прямые, которые пересекают прямую l2 в точках В1, В2, В3, В4, ... (рис. 165). Требуется доказать, что отрезки В1В2, В2В3, В3В4, ... равны друг другу. Докажем, например, что В1В2 = В2В3.

Рассмотрим сначала случай, когда прямые l1, и l2 параллельны (рис. 165, а). Тогда A1А2 = В1В2 и А2А3 = В2В3 как противоположные стороны параллелограммов А1В1В2А2 и А2В2В3А3. Так как А1А2 = А2А3, то и В1В2 = В2В3. Если прямые l1 и l2 не параллельны, то через точку В1 проведём прямую l, параллельную прямой l1 (рис. 165, б). Она пересечёт прямые А2В2 и А3В3 в некоторых точках С и D. Так как А1А2 = А2А3, то по доказанному B1C = CB. Отсюда получаем: B1B2 = B1B3 (задача 384). Аналогично можно доказать, что В2В3 = В3В4 и т. д.


Рис. 165

386. Докажите, что отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, параллелен основаниям трапеции.

387. Найдите углы В и В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС, если ∠A = 36°, ∠C =117°.

388. Докажите, что в равнобедренной трапеции: а) углы при каждом основании равны; б) диагонали равны.

389. Докажите, что трапеция равнобедренная, если: а) углы при основании равны; б) диагонали трапеции равны.

390. Один из углов равнобедренной трапеции равен 68°. Найдите остальные углы трапеции.

391. Докажите, что из одинаковых плиток, имеющих форму равнобедренной трапеции, можно сделать паркет, полностью покрывающий любую часть плоскости.

392. Основания прямоугольной трапеции равны а и b, один из углов равен α. Найдите: а) большую боковую сторону трапеции, если а = 4см, b = 7см, α = 60°; б) меньшую боковую сторону трапеции, если а = 10 см, b = 15 см, α = 45°.

393. Постройте параллелограмм: а) по двум смежным сторонам и углу между ними; б) по двум диагоналям и углу между ними; в) по двум смежным сторонам и соединяющей их концы диагонали.

Решение

в) Даны три отрезка M1N1, M2N2, M3N3 (рис. 166, а). Требуется построить параллелограмм ABCD, у которого смежные стороны, скажем АВ и AD, равны соответственно отрезкам M1N1 и M2N2, а диагональ BD равна отрезку M3N3. Проведём решение задачи по схеме, описанной на с. 94.

Анализ

Допустим, что искомый параллелограмм ABCD построен (рис. 166, б). Мы видим, что стороны треугольника ABD равны данным отрезкам M1N1, M2N2 и M3N3. Это обстоятельство подсказывает следующий путь решения задачи: сначала нужно построить по трём сторонам треугольник ABD, а затем достроить его до параллелограмма ABCD.

Построение

Строим треугольник ABD так, чтобы его стороны АВ, AD и BD равнялись соответственно отрезкам M2N2 и M3N3 (как это сделать, мы знаем из курса 7 класса). Затем построим прямую, проходящую через точку В параллельно AD, и вторую прямую, проходящую через точку D параллельно АВ (как это сделать, мы также знаем из курса 7 класса). Точку пересечения этих прямых обозначим буквой С (рис. 166, в). Четырёхугольник ABCD и есть искомый параллелограмм.


Рис. 166

Доказательство

По построению АВ || CD и ВС || AD, поэтому ABCD — параллелограмм. Смежные стороны параллелограмма ABCD по построению равны отрезкам и M2N2, а диагональ BD равна отрезку M3N3, т. е. параллелограмм ABCD — искомый.

Исследование

Ясно, что если по трём данным отрезкам M1N1, M2N2 и M3N3 можно построить треугольник ABD, стороны которого равны этим отрезкам, то можно построить и параллелограмм ABCD. Но треугольник ABD можно построить не всегда. Если какой-то из трёх данных отрезков больше или равен сумме двух других, то треугольник ABD, а значит, и параллелограмм ABCD построить нельзя. Попробуйте самостоятельно доказать, что если задача имеет решение, то это решение единственно (см. п. 39).

394. Даны три точки А, B и С, не лежащие на одной прямой. Постройте параллелограмм так, чтобы три его вершины совпадали с данными точками. Сколько таких параллелограммов можно построить?

395. Даны острый угол hk и два отрезка P1Q1 и P2Q2. Постройте параллелограмм ABCD так, чтобы расстояние между параллельными прямыми АВ и DC равнялось P1Q1, AB = P2Q2 и ∠A = ∠ hk.

396. Разделите данный отрезок АВ на n равных частей.

Решение

Проведём луч АХ, не лежащий на прямой АВ, и на нём от точки А отложим последовательно n равных отрезков АА1, А1А2, ..., Аn-1Аn (рис. 167), т. е. столько равных отрезков, на сколько равных частей нужно разделить данный отрезок АВ (на рисунке 167 п = 5). Проведём прямую АnB (точка Аn — конец последнего отрезка) и построим прямые, проходящие через точки А1, А2, ..., Аn-1 и параллельные прямой АпВ. Эти прямые пересекают отрезок АВ в точках В1 В2, ..., Bn-1 которые по теореме Фалеса (задача 385) делят отрезок АВ на n равных частей.


Рис. 167

397. Постройте равнобедренную трапецию ABCD:

    а) по основанию AD, углу А и боковой стороне АВ;
    б) по основанию ВС, боковой стороне АВ и диагонали BD.

398. Постройте прямоугольную трапецию ABCD по основаниям и боковой стороне AD, перпендикулярной к основаниям.

Ответы к задачам

    372. а) 10,5 см, 13,5 см; б) 8,5 см, 15,5 см; в) 8 см, 16 см.

    373. 13 см, 12 см, 13 см, 12 см.

    374. 78 см.

    375. 56 см или 70 см.

    376. a) ∠B = ∠B = 96°, ∠C = 84°; б) ∠А = ∠C = 117°30'; ∠B = ∠D= 62°30'; в) ∠A = ∠C = 71°, ∠B = ∠D =109°; г) ∠A = ∠C = 120°, ∠B = ∠D = 60°; д) ∠A = ∠C= 53°, ∠B = ∠D = 127°.

    377. MN = PQ = 6 cm, NP = QM = 8cm, ∠M = ∠P = 60°, ∠N = ∠Q = 120°.

    379. Указание. Сначала доказать, что BK = DM.

    380. Указание. Воспользоваться признаком 20, п. 44.

    382. Указание. Воспользоваться признаком 30, п. 44.

    383. Указание. Воспользоваться признаком 20, п. 44.

    386. Указание. Через середину боковой стороны провести прямую, параллельную основаниям, и воспользоваться задачей 385.

    387. ∠B= 144°, ∠D = 63°. 388. Указание. а) Через один из концов меньшего основания провести прямую, параллельную боковой стороне.

    389. Указание, а) Воспользоваться указанием к задаче 388, а; б) через один из концов меньшего основания провести прямую, параллельную диагонали.

    390. 68°, 112°, 112°. Указание. Воспользоваться задачей 388, а.

    391. Указание. Приложить плитки друг к другу так, чтобы боковые стороны совпали, меньшее основание одной плитки лежало на одной прямой с большим основанием другой плитки.

    392. а) 6 см; б) 5см.

    394. Три.

    395. Указание. Воспользоваться задачей 284.


1 Фалес Милетский — древнегреческий учёный (ок. 625—547 гг. до н. э.).

Рейтинг@Mail.ru