Геометрия
7-9 классы

       

§ 1. Определение подобных треугольников

Пропорциональные отрезки

Вокруг нас немало предметов, которые имеют одинаковую D форму, но разные размеры. Самый простой пример — большой и маленький мячи. В геометрии фигуры одинаковой формы называются подобными. Данная глава посвящена изучению подобных треугольников и признаков их подобия. Эти признаки широко используются в геометрии, в частности с их помощью будет доказано утверждение, сформулированное ещё при изучении геометрии в 7 классе: медианы треугольника пересекаются в одной точке. Кроме того, будет рассказано об использовании свойств подобных треугольников при проведении измерительных работ на местности.

Отношением отрезков АВ и CD называется отношение их длин, т. е. .

Говорят, что отрезки АВ и CD пропорциинальны отрезкам А1В1 и C1D1, если

Например, отрезки АВ и CD, длины которых равны 2 см и 1 см, пропорциональны отрезкам А1В1 и C1D1, длины которых равны 3 см и 1,5 см. В самом деле,

Понятие пропорциональности вводится и для большего числа отрезков. Так, например, три отрезка АВ, CD и EF пропорциональны трём отрезкам А1В1 С1D1, и E1F1, если справедливо равенство

Определение подобных треугольников

В повседневной жизни встречаются предметы одинаковой формы, но разных размеров, например футбольный и теннисный мячи, круглая тарелка и большое круглое блюдо. В геометрии фигуры одинаковой формы принято называть подобными. Так, подобными являются любые два квадрата, любые два круга.

Введём понятие подобных треугольников.

Пусть у двух треугольников АВС и А1В1С1 углы соответственно равны: ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1, ∠C = ∠C1. В этом случае стороны АВ и А1В1, ВС и B1C1, СА и С1А1 называются сходственными (рис. 188).


Рис. 188

Определение

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника.

Другими словами, два треугольника подобны, если для них можно ввести обозначения АВС и А1В1С1 так, что

Число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников, называется коэффициентом подобия.

Подобие треугольников АВС и А1В1С1 обозначается так: ΔABC ∼ ΔA1B1C1. На рисунке 188 изображены подобные треугольники.

Оказывается, что подобие треугольников можно установить, проверив только некоторые из равенств (1) и (2). В следующем параграфе мы рассмотрим три признака подобия треугольников.

Отношение площадей подобных треугольников

Теорема

Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Доказательство

Пусть треугольники АВС и А1В1С1 подобны, причём коэффициент подобия равен к. Обозначим буквами S и S, площади этих треугольников. Так как ∠A = ∠A1, то (по тереме об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу, п. 53). По формулам (2) имеем: , поэтому .

Теорема доказана.

Задачи

533. Найдите отношение отрезков АВ и CD, если их длины равны соответственно 15 см и 20 см. Изменится ли это отношение, если длины отрезков выразить в миллиметрах?

534. Пропорциональны ли изображённые на рисунке 189 отрезки: а) АС, CD и М1М2, ММ1; б) АВ, ВС, CD и ММ2, ММ1, М1М2; в) АВ, BD и ММ1, М1М2?


Рис. 189

535. Докажите, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Решение

Пусть AD — биссектриса треугольника АВС. Докажем, что (рис. 190). Треугольники ABD и ACD имеют общую высоту АН, поэтому . С другой стороны, эти же треугольники имеют по равному углу (∠1 = ∠2), поэтому . Из двух равенств для отношения площадеи получаем , или , что и требовалось доказать.


Рис. 190

536. Отрезок BD является биссектрисой треугольника АВС.

    а) Найдите АВ, если ВС = 9 см, АО = 7,5 см, ОС = 4,5 см.
    б) Найдите ОС, если АВ = 30, АО = 20, ВС = 16.

537. Отрезок АО является биссектрисой треугольника АВС. Найдите ВО и ОС, если АВ = 14 см, ВС = 20 см, АС = 21 см.

538. Биссектриса АО треугольника АВС делит сторону ВС на отрезки СО и ВО, равные соответственно 4,5 см и 13,5 см. Найдите АВ и АС, если периметр треугольника АВС равен 42 см.

539. В треугольник MNK вписан ромб MDEF так, что вершины D, Е и F лежат соответственно на сторонах MN, NK и МК. Найдите отрезки NE и ЕК, если MN = 7 см, NK = 6 см, МК = 5 см.

540. Периметр треугольника CDE равен 55 см. В этот треугольник вписан ромб DMFN так, что вершины М, F и N лежат соответственно на сторонах СО, СЕ и DE. Найдите стороны СО и DE, если CF = 8 см, EF = 12 см.

541. Подобны ли треугольники АВС и DEF, если ∠A = 106°, ∠B = 34°, ∠B =106°, ∠B = 40°, АС = 4,4 см, АВ = 5,2 см, ВС = = 7,6 см, DE = 15,6 см, DF = 22,8 см, EF = 13,2 см?

542. В подобных треугольниках АВС и KMN стороны АВ и КМ, ВС и MN являются сходственными. Найдите стороны треугольника KMN, если АВ = 4 см, ВС = 5 см, СА = 7 см, = 2,1

543. Докажите, что отношение сходственных сторон подобных треугольников равно отношению высот, проведённых к этим сторонам.

544. Площади двух подобных треугольников равны 75 м2 и 300 м2. Одна из сторон второго треугольника равна 9 м. Найдите сходственную ей сторону первого треугольника.

545. Треугольники АВС и А1В1С1 подобны, и их сходственные стороны относятся как 6: 5. Площадь треугольника АВС больше площади треугольника А1В1С1 на 77 см2. Найдите площади треугольников.

546. План земельного участка имеет форму треугольника. Площадь изображённого на плане треугольника равна 87,5 см2. Найдите площадь земельного участка, если план выполнен в масштабе 1 : 100 000.

547. Докажите, что отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

548. Треугольники АВС и А1В1С1 подобны. Сходственные стороны ВС и В1С1 соответственно равны 1,4 м и 56 см. Найдите отношение периметров треугольников АВС и А1В1С1.

549. Стороны данного треугольника равны 15 см, 20 см и 30 см. Найдите стороны треугольника, подобного данному, если его периметр равен 26 см.

Ответы к задачам

533. 3/4; нет.

534. а) Да; б) да; в) нет.

536. а) 15 см; б) .

537. BD = 8 см, DC = 12 см.

538. АВ = 18 см, АС = 6 см.

539. NE = 3,5 см, ЕК = 2,5 см.

540. СD =14 см, DE = 21см.

541. Да.

542. 8,4 см, 10,5 см, 14,7 см.

544. 4,5 м.

545. 175 см2 и 252 см2.

546. 87,5 км2.

548. 2,5.

549. 6 см, 8 см, 12см.

Рейтинг@Mail.ru