1. Исследуйте взаимное расположение прямой и окружности в зависимости от соотношения между радиусом окружности и расстоянием от её центра до прямой. Сформулируйте полученные выводы.
2. Какая прямая называется секущей по отношению к окружности?
3. Какая прямая называется касательной к окружности? Какая точка называется точкой касания прямой и окружности?
4. Сформулируйте и докажите теорему о свойстве касательной.
5. Докажите, что отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
6. Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме о свойстве касательной.
7. Объясните, как через данную точку окружности провести касательную к этой окружности.
8. Какой угол называется центральным углом окружности?
9. Объясните, какая дуга называется полуокружностью, какая дуга меньше полуокружности, а какая больше полуокружности.
10. Как определяется градусная мера дуги? Как она обозначается?
11. Какой угол называется вписанным? Сформулируйте и докажите теорему о вписанном угле.
12. Докажите, что вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
13. Докажите, что вписанный угол, опирающийся на полуокружность, — прямой.
14. Сформулируйте и докажите теорему об отрезках пересекающихся хорд.
15. Сформулируйте и докажите теорему о биссектрисе угла.
16. Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
17. Какая прямая называется серединным перпендикуляром к отрезку?
18. Сформулируйте и докажите теорему о серединном перпендикуляре к отрезку.
19. Докажите, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
20. Сформулируйте и докажите теорему о пересечении высот треугольника.
21. Какая окружность называется вписанной в многоугольник? Какой многоугольник называется описанным около окружности?
22. Сформулируйте и докажите теорему об окружности, вписанной в треугольник. Сколько окружностей можно вписать в данный треугольник?
23. Каким свойством обладают стороны четырёхугольника, описанного около окружности?
24. Какая окружность называется описанной около многоугольника? Какой многоугольник называется вписанным в окружность?
25. Сформулируйте и докажите теорему об окружности, описанной около треугольника. Сколько окружностей можно описать около данного треугольника?
26. Каким свойством обладают углы четырёхугольника, вписанного в окружность?
Дополнительные задачи
712. Докажите, что касательные, проведённые через концы хорды, не являющейся диаметром окружности, пересекаются.
713. Прямые АВ и АС — касательные к окружности с центром О, В и С — точки касания. Через произвольную точку X, взятую на дуге ВС, проведена касательная к этой окружности, пересекающая отрезки АВ и АС в точках М и N. Докажите, что периметр треугольника AMN и величина угла MON не зависят от выбора точки X на дуге ВС.
714.* Две окружности имеют общую точку М и общую касательную в этой точке. Прямая АВ касается одной окружности в точке А, а другой — в точке В. Докажите, что точка М лежит на окружности с диаметром АВ.
715. Диаметр АА1 окружности перпендикулярен к хорде ВВи Докажите, что градусные меры дуг АВ и АВ1 меньших полуокружности, равны.
716. Точки А, В, С и D лежат на окружности. Докажите, что если AB = CD, то АВ = CD.
717. Отрезок АВ является диаметром окружности, а хорды ВС и AD параллельны. Докажите, что хорда CD является диаметром.
718. По данным рисунка 237 докажите, что
Рис. 237
Решение
Проведём хорду ВС. Так как ∠AMB — внешний угол треугольника ВМС, то ∠AMB = ∠1 + ∠2. По теореме о вписанном угле
поэтому
719. Через точку, лежащую вне окружности, проведены две секущие. Докажите, что угол между ними измеряется полуразностью дуг, заключённых внутри угла.
720. Может ли вершина разностороннего треугольника лежать на серединном перпендикуляре к какой-либо стороне? Ответ обоснуйте.
721. Докажите, что если в прямоугольник можно вписать окружность, то этот прямоугольник — квадрат.
722. Четырёхугольник ABCD описан около окружности радиуса г. Известно, что АВ : CD = 2 : 3, AD : ВС = 2 : 1. Найдите стороны четырёхугольника, если его площадь равна S.
723. Докажите, что если прямые, содержащие основания трапеции, касаются окружности, то прямая, проходящая через середины боковых сторон трапеции, проходит через центр этой окружности.
724. Докажите, что если в выпуклом четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.
Решение
Пусть в выпуклом четырёхугольнике ABCD
АВ + CD = ВС + AD. (1)
Точка О пересечения биссектрис углов А и В равноудалена от сторон AD, АВ и ВС, поэтому можно провести окружность с центром О, касающуюся указанных трёх сторон (рис. 238, а). Докажем, что эта окружность касается также стороны CD и, значит, является вписанной в четырёхугольник ABCD. Предположим, что это не так. Тогда прямая CD либо не имеет общих точек с окружностью, либо является секущей.
Рассмотрим первый случай (рис. 238, б).
Проведём касательную C'D', параллельную стороне CD (С и D' — точки пересечения касательной со сторонами ВС и AD). Так как ABCD' — описанный четырёхугольник, то по свойству его сторон
AB + C'D' = BC' + AD'. (2)
Рис. 238
Но ВС = ВС - С'С, AD' = AD - D'D, поэтому из равенства (2) получаем:
C'D' + С'С + D'D = ВС + AD - АВ.
Правая часть этого равенства в силу (1) равна CD. Таким образом, приходим к равенству
C'D' + С'С + D'D = CD,
т. е. в четырёхугольнике C’CDD' одна сторона равна сумме трёх других сторон. Но этого не может быть, и, значит, наше предположение ошибочно. Аналогично можно доказать, что прямая CD не может быть секущей окружности. Следовательно, окружность касается стороны CD, что и требовалось доказать.
725. Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию с основаниями а и b.
726. Центр описанной около треугольника окружности лежит на медиане. Докажите, что этот треугольник либо равнобедренный, либо прямоугольный.
727. В равнобедренный треугольник вписана окружность с центром O1 и около него описана окружность с центром O2. Докажите, что точки О1 и O2 лежат на серединном перпендикуляре к основанию треугольника.
728. Докажите, что если около ромба можно описать окружность, то этот ромб — квадрат.
729.* Докажите, что если в четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.
Решение
Пусть в четырёхугольнике ABCD
∠A + ∠C= 180°. (1)
Проведём окружность через три вершины четырёхугольника: А, В и D (рис. 239, а) — и докажем, что она проходит также через вершину С, т. е. является описанной около четырёх угольника ABCD. Предположим, что это не так. Тогда вершина С лежит либо внутри круга, либо вне его. Рассмотрим первый случай (рис. 239, б). В этом случае (см. задачу 718), и, следовательно,
Так как
то
Рис. 239
Итак, мы получили, что ∠A + ∠C > 180°. Но это противоречит условию (1), и, значит, наше предположение ошибочно. Аналогично можно доказать (опираясь на задачу 719), что вершина С не может лежать вне круга. Следовательно, вершина С лежит на окружности, что и требовалось доказать.
730. Через точки А и В проведены прямые, перпендикулярные к сторонам угла АОВ и пересекающиеся в точке С внутри угла. Докажите, что около четырёхугольника АСВО можно описать окружность.
731. Докажите, что около выпуклого четырёхугольника, образованного при пересечении биссектрис углов трапеции, можно описать окружность.
732. В прямоугольном треугольнике АВС из точки М стороны АС проведён перпендикуляр МН к гипотенузе АВ. Докажите, что углы МНС и МВС равны.
733. й Найдите радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности, если радиус описанной окружности равен 10 см.
734. Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность и можно описать около него окружность, то этот параллелограмм — квадрат.
735. В трапецию с основаниями а и b можно вписать окружность и около этой трапеции можно описать окружность. Найдите радиус вписанной окружности.
736. Даны прямая а, точка А, лежащая на этой прямой, и точка В, не лежащая на ней. Постройте окружность, проходящую через точку В и касающуюся прямой а в точке А.
737. Даны две параллельные прямые и точка, не лежащая ни на одной из них. Постройте окружность, проходящую через данную точку и касающуюся данных прямых.
Ответы к задачам
712. Указание. Воспользоваться задачей 664.
713. Указание. Учесть, что ВМ = МХ и CN = NX.
714. Указание. Пусть К — точка пересечения общей касательной, проходящей через точку М, и прямой АВ. Сначала доказать, что КА = КМ = КВ.
720. Нет.
722.
725.
726. Указание. Использовать серединный перпендикуляр к той стороне, к которой проведена медиана.
AB = 
(см. задачу 718), и, следовательно, 
