Геометрия
7-9 классы

       

§ 3. Уравнения окружности и прямой

Уравнение линии на плоскости

При изучении алгебры мы строили графики некоторых функций в прямоугольной системе координат, например график функции у-х. Известно, что графиком этой функции является прямая, проходящая через точки О (0; 0) и А(1;1) (рис. 284). Координаты любой точки М (х; у), лежащей на прямой О А, удовлетворяют уравнению у = х (так как ММ1 = ММ2), а координаты любой точки, не лежащей на прямой ОА, этому уравнению не удовлетворяют. Говорят, что уравнение у = х является уравнением прямой О А. Введём теперь понятие уравнения произвольной линии.

Рис. 284

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат Оху и дана некоторая линия L (рис. 285). Уравнение с двумя переменными х и у называется уравнением линии L, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки линии L и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.

Рис. 285

При изучении линий методом координат возникают две задачи: 1) по геометрическим свойствам данной линии найти её уравнение; 2) обратная задача: по заданному уравнению линии исследовать её геометрические свойства. В следующем пункте мы рассмотрим первую из этих задач применительно к окружности. Вторая задача рассматривалась в курсе алгебры при построении графиков функций.

Уравнение окружности

Выведем уравнение окружности радиуса г с центром С в заданной прямоугольной системе координат. Пусть точка С имеет координаты (x0; у0) (рис. 286). Расстояние от произвольной точки М (х; у) до точки С вычисляется по формуле Если точка М лежит на данной окружности, то МС = r, МС2 = r2, т. е. координаты точки М удовлетворяют уравнению

    (х - х0)2 + (у - у0)2 = r2.                     (1)

Если же точка М (х; у) не лежит на данной окружности, то МС2 ≠ r2, и, значит, координаты точки М не удовлетворяют уравнению (1). Следовательно, в прямоугольной системе координат уравнение окружности радиуса r с центром в точке С (х0; у0) имеет вид:

    (х - х1)2 + (у - у0)2 = r2.

В частности, уравнение окружности радиуса r с центром в начале координат имеет вид:

    х2 + у2 = r2.

Задача

Найти уравнение окружности с центром в точке (-3; 4), проходящей через начало координат.

Решение

Центр окружности имеет координаты (-3; 4). Поэтому уравнение этой окружности можно записать в виде (х + 3)2 + (у - 4)2 = r2, где r — пока неизвестный радиус окружности. Найдём его. Для этого воспользуемся тем, что окружность проходит через начало координат, т. е. координаты точки О (0; 0) удовлетворяют этому уравнению: (0 + 3)2 + (0 - 4)2 = r2. Отсюда r2 = 25, и, значит, r = 5. Итак, искомое уравнение окружности имеет вид (х + 3)2 + (у - 4)2 = 25.

Если раскрыть скобки и привести подобные члены, то получится уравнение х2 + у2 + 6х - 8у = 0, которое также является уравнением данной окружности.

Уравнение прямой

Выведем уравнение данной прямой l в заданной прямоугольной системе координат. Отметим две точки А (x1; у1) и В (х2; у2) так, чтобы прямая l была серединным перпендикуляром к отрезку АВ (рис. 287, а). Если точка М (х; у) лежит на прямой l, то АМ = ВМ, или AM2 = ВМ2, т. е. координаты точки М удовлетворяют уравнению

    (x - х1)2 + (у - у1)2 = (х- х2)2 + (у - у2)2.           (2)

    Рис. 287

    Если же точка М (x; у) не лежит на прямой l, то AM2 ≠ ВМ2, и, значит, координаты точки М не удовлетворяют уравнению (2). Следовательно, уравнение (2) является уравнением прямой I в заданной системе координат. После возведения выражений в скобках в квадрат и приведения подобных членов уравнение (2) принимает вид

      ах + bу + с = 0,                 (3)

    где а = 2 (х1 - х2), b = 2(у1 - у2), Так как А (x1; у1) и В (x2; y2) — различные точки, то хотя бы одна из разностей (х1 - х2) и (у1 - у2) не равна нулю, т. е. хотя бы один из коэффициентов а и b отличен от нуля. Таким образом, уравнение прямой в прямоугольной системе координат является уравнением первой степени.

    Если в уравнении (3) коэффициент b отличен от нуля, то это уравнение можно записать так:

      y = kx + d,

    где Число k называется угловым коэффициентом прямой, заданной этим уравнением. Докажите самостоятельно, что:

    две параллельные прямые, не параллельные оси Оу, имеют одинаковые угловые коэффициенты; вели две прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты, то эти прямые параллельны.

    Выведем уравнение прямой l, проходящей через точку М0 (x0; у0) и параллельной оси Оу (рис. 287, б). Абсцисса любой точки М (х; у) прямой l равна x0, т. е. координаты любой точки М (x; у) прямой l удовлетворяют уравнению х = х0. В то же время координаты любой точки, не лежащей на прямой l, этому уравнению не удовлетворяют. Следовательно, уравнение х = х0 является уравнением прямой l.

    Ясно, что ось Ох имеет уравнение у = О, а ось Оу — уравнение х = 0.

    Взаимное расположение двух окружностей

    Исследуем взаимное расположение двух окружностей в зависимости от их радиусов r, R и расстояния d между их центрами. Для определённости будем считать, что r ≤ R.

    Если центры окружностей совпадают, т. е. d = 0, то окружности называются концентрическими, и окружность радиуса г лежит внутри круга радиуса R (рис. 288, а).

    Пусть d > 0. Введём прямоугольную систему координат Оху так, чтобы точка О была центром первой окружности, а точка с координатами (d; 0) — центром второй окружности. В этой системе координат уравнения первой и второй окружностей имеют вид

      х2 + у2 = R2,     (х - d)2 + у2 = r2.       (4)

    Рис. 288

    Если система уравнений (4) имеет решением пару чисел х = х0, у = у0, то точка М0 (х0; у0) является общей точкой данных окружностей (рис. 288, б), и обратно: если М0 (x0; у0) — общая точка данных окружностей, то пара чисел х = х0, у = у0 является решением системы уравнений (4).

    Пусть система (4) имеет решением пару чисел x = х0, у = у0, т. е. справедливы числовые равенства

    Вычитая из первого равенства второе, подучаем равенство 2x0d - d2 = R2 - r2, откуда

    Заметим, что х0 > 0, поскольку R ≥ r и d > 0. Кроме того, как следует из первого равенства (5), х0 = т. е. для величин R, r и d должно выполняться неравенство или R2 + d2 - r2 ≤ 2dR. Последнее неравенство запишем в виде (d - R)2 ≤ r2. Отсюда следует, что -r ≤ d - R ≤ r, или

      R - r ≤ R + r.               (7)

    Отметим, что х0 = R, если d = R - r или d = R + r, и x0 < R, если R - r < d < R + r

    Итак, если система уравнений (4) имеет решение, то величина d удовлетворяет неравенствам (7). Поэтому, если не выполнено какое-то из неравенств (7), то система (4) не имеет решений и, следовательно, данные окружности не имеют общих точек. Так будет в двух случаях:

    1) d < R - r, т. е. d + r < R (рис. 288, в). В этом случае окружность радиуса r лежит внутри круга радиуса Д. Говорят также, что одна окружность лежит внутри другой.

    2) d > R + r (рис. 288, г). В этом случае говорят, что одна окружность лежит вне другой.

    Если неравенства (7) выполнены, то возможны три случая:

    3) d = R - r, при этом R > r, поскольку d > 0. Как уже было отмечено, в этом случае x0 = R, поэтому из первого из равенств (5) следует, что y0 = 0. Непосредственной проверкой можно убедиться в том, что пара чисел x = R, у = 0 есть решение системы (4). Таким образом, в данном случае окружности имеют ровно одну общую точку, и их взаимное расположение изображено на рисунке 288, д. Говорят, что окружности касаются изнутри.

    4) d = R + r. В этом случае также х0 = R, поэтому y0 = 0, и непосредственно проверяется, что пара чисел x = R, у = 0 есть решение системы (4). Таким образом, в данном случае, как и в случае 3, окружности имеют ровно одну общую точку, но их взаимное расположение иное (рис. 288, е). Говорят, что окружности касаются извне.

    5) R - r < d < R+ r. Как уже было отмечено, в этом случае число х0, определённое равенством (6), удовлетворяет неравенству x0 < R, поэтому из первого равенства (5) получаем два значения у0: у0 = и у0 = - Нетрудно убедиться в том, что система (4) имеет в данном случае два решения: х = х0, у0 = и х = х0, у0 = - Следовательно, окружности пересекаются в двух точках (см. рис. 288, б).

    Таким образом, если d ≠ 0, то возможны пять случаев взаимного расположения двух окружностей (см. рис. 288, б—е).

    Задачи

    959. Начертите окружность, заданную уравнением:

      а) х2 + у2 = 9; б) (х - 1)2 + (у + 2)2 = 4; в) (х + 5)2 + (у - 3)2 = 25; г) (х - 1)2 + у2 = 4; д) х2 + (у + 2)2 = 2.

    960. Какие из точек А (3; -4), В (1; 0), С (0; 5), D (0; 0) и Е (0; 1) лежат на окружности, заданной уравнением:

      а) х2 + у2 = 25; б) (х - 1)2 + (у + 3)2 = 9; в) (х - 0,5)2 - у2 = 0,25;

    961. Окружность задана уравнением (х + 5)2 + (у - 1)2 = 16. Не пользуясь чертежом, укажите, какие из точек А (-2; 4), В (-5; -3), С (-7; -2) и D (1; 5) лежат:

      а) внутри круга, ограниченного данной окружностью;
      6) на окружности;
      в) вне круга, ограниченного данной окружностью.

    962. Даны окружность х2 + у2 = 25 и две точки А (3; 4) и В (4;-3). Докажите, что АВ — хорда данной окружности.

    963. На окружности, заданной уравнением х2 + у2 = 25, найдите точки: а) с абсциссой -4; б) с ординатой 3.

    964. На окружности, заданной уравнением (x - 3)2 + (у - 5)2 = 25, найдите точки: а) с абсциссой 3; б) с ординатой 5.

    965. Напишите уравнения окружностей с центром в начале координат и радиусами r1 = 3, r2 = √2, r2 = 5/2.

    966. Напишите уравнение окружности радиуса r с центром А, если: а) А (0; 5), r = 3; б) А (-1;2), r = 2; в) А (-3;-7), r = 1/2; г) А (4;-3), r =10.

    967. Напишите уравнение окружности с центром в начале координат, проходящей через точку В (-1; 3).

    968. Напишите уравнение окружности с центром в точке А (0; 6), проходящей через точку В (-3; 2).

    969. Напишите уравнение окружности с диаметром MN, если: а) М (-3; 5), N (7; -3); б) М (2; -1), N (4; 3).

    970. Напишите уравнение окружности, проходящей через точку А (1;3), если известно, что центр окружности лежит на оси абсцисс, а радиус равен 5. Сколько существует таких окружностей?

    971. Напишите уравнение окружности, проходящей через точки А (-3; 0) и В (0; 9), если известно, что центр окружности лежит на оси ординат.

    972. Напишите уравнение прямой, проходящей через две данные точки: а) А (1; -1) и В (-3; 2); б) С (2; 5) и D (5; 2); в) М (0; 1) и N (-4; -5).

    Решение

    а) Уравнение прямой АВ имеет вид ах + by + с = 0. Так как точки А и В лежат на прямой АВ, то их координаты удовлетворяют этому уравнению:

      а • 1 + b • (-1) + с = 0, а • (-3) + b • 2 + с = 0,
      или а - b + с = 0, -3а + 2b + с = 0.

    Из этих уравнений выразим коэффициенты а и b через с: а = 3с, b = 4с. Подставив эти значения в уравнение прямой, получим 3сх + 4су + с = 0. При любом с ≠ 0 это уравнение является уравнением прямой АВ. Сократив на с, запишем искомое уравнение в виде 3х + 4у + 1 = 0.

    973. Даны координаты вершин треугольника АВС: А (4; 6), В (-4; 0), С (-1; -4). Напишите уравнение прямой, содержащей медиану СМ.

    974. Даны координаты вершин трапеции ABCD: А (-2; -2), В (-3;1), С (7; 7) и D (3; 1). Напишите уравнения прямых, содержащих: а) диагонали АС и BD трапеции; б) среднюю линию трапеции.

    975. Найдите координаты точек пересечения прямой 3х - 4у + 12 = О с осями координат. Начертите эту прямую.

    976. Найдите координаты точки пересечения прямых 4х + 3у - 6 = О и 2х + у - 4 = 0.

    977. Напишите уравнения прямых, проходящих через точку М (2; 5) и параллельных осям координат.

    978. Начертите прямую, заданную уравнением: а) у = 3; б) х = -2; в) у = -4; г) х = 7.

    979. Найдите ординату точки М, лежащей на прямой АВ, если известно, что А (-8; -6), В (-3; -1) и абсцисса точки М равна 5.

    980 Напишите уравнения прямых, содержащих стороны ромба, диагонали которого равны 10 см и 4 см, если известно, что его диагонали лежат на осях координат.

    Использование уравнений окружности и прямой при решении задач

    981. Даны две точки А и В. Найдите множество всех точек, для каждой из которых расстояние от точки А в два раза больше расстояния от точки В.

    Решение

    Введём прямоугольную систему координат так, как показано на рисунке 289,а. Тогда точки А и В имеют координаты А (0; 0), В (а; 0), где а = АВ.

    Рис. 289

    Найдём расстояния от произвольной точки М (х; у) до точек А и В:

    Если точка М (х; у) принадлежит искомому множеству, то

      AM = 2ВМ, или AM2 = 4ВМ2.

    Поэтому её координаты удовлетворяют уравнению

      х2 + у2 = 4 ((х - а)2 + у2).           (8)

    Если же точка М не принадлежит искомому множеству, то её координаты не удовлетворяют этому уравнению.

    Следовательно, уравнение (8) и есть уравнение искомого множества точек в выбранной системе координат. Раскрывая скобки и группируя слагаемые соответствующим образом, приводим уравнение (8) к виду

    Таким образом, искомым множеством точек является окружность радиуса 2/3a с центром в точке C(4/3a; 0). Эта окружность изображена на рисунке 289, б.

    Замечание

    Аналогично можно доказать, что множеством всех точек М, удовлетворяющих условию AM = kBM, где k — данное положительное число, не равное единице, является окружность радиуса с центром в точке

    Эти окружности, соответствующие различным значениям k ≠ 1, называют окружностями Аполлония, поскольку они рассматривались ещё древнегреческим математиком Аполлонием в его трактате «О кругах» во II в. до н. э.

    Если k = 1, то задача сводится к известной нам задаче о нахождении множества всех точек, равноудалённых от точек А и В. Таким множеством, как мы знаем, является серединный перпендикуляр к отрезку АВ.

    982. Точка В — середина отрезка АС, длина которого равна 2. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых: a) AM2 + ВМ2 + СМ2 = 50; б) AM2 + 2ВМ2 + 3СМ2 = 4.

    983. Даны две точки А и В. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых AM2 + ВМ2 = k2, где k — данное число.

    984. Даны две точки А и В. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых AM2 - ВМ2 = k, где k — данное число.

    Решение

    Введём прямоугольную систему координат так, чтобы точка А была началом координат, а точка В имела координаты (а; 0), где а = АВ. Найдём расстояния от произвольной точки М (х; у) до точек А и В:

    Если точка М (х; у) принадлежит искомому множеству, то AM2 - ВМ2 = k, поэтому координаты точки М удовлетворяют уравнению х2 + у2 - (х - а)2 - у2 = k, или 2ах - а2 - k = 0.

    Если же точка М не принадлежит искомому множеству, то её координаты не удовлетворяют этому уравнению. Итак, полученное уравнение является уравнением искомого множества точек. Но этим уравнением определяется прямая, параллельная оси Оу, если а2 + k ≠ 0, и сама ось Оу, если a2 + k = 0. Таким образом, искомым множеством точек является прямая, перпендикулярная к прямой АВ.

    985. Даны две точки А и B. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых ВМ2 - AM2 = 2АВ2.

    986. Дан прямоугольник ABCD. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых

      (AM2 + DM2) - (ВМ2 + СМ2) = 2АВ2.

    987.* Дан ромб ABCD, диагонали которого равны 2а и 2Ь. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых

      AM2 + DM2 = ВМ2 + СМ2.

    Ответы к § 3

      960. а) А и С; б) В; в) В и D.

      961. а) С; б) В; в) А и D.

      963. а) (-4; -3), М;3);б) (4; 3), (-4; 3).

      964. а) (3; 0), (3; 10); б) (-2; 5), (8; 5).

      965. 1) х2 + у2 = 9; 2) х2 + у2 = 2; 3)

      966. а) х2 + (у-5)2 = 9; б) (х + 1)2 + (y - 2)2 = 4; в) г) (х - 4)2 + (y + 3)2 = 100.

      967. х2 + у2 = 10.

      968. х2 + (у - 6)2 = 25.

      969. а) (х - 2)2 + (y - 1)2 = 41; б) (х - 3)2 + (у - 1)2 = 5.

      970. (х - 5)2 + у2 = 25, (х + 3)2 + у2 = 25; две окружности.

      971. х2 + (у - 4)2 = 25.

      972. б) х + у- 7 = 0; в) 3х - 2у + 2 = 0.

      973. 7х - у + 3 = 0.

      974. а) х - у = 0, у - 1 = 0; б) 3х - 5у + 5 = 0.

      975. (-4; 0) и (0; 3).

      976. (3;-2).

      977. х = 2 и у = 5.

      979. 7.

      980. 5х + 2у - 10 = 0, 5х - 2у - 10 = 0, 5х + 2у + 10 = 0, 5х - 2у + 10 = 0 или 2х + 5у- 10 = 0, 2х - 5у -10 = 0, 2х + 5y + 10 = 0, 2х - 5у+ 10 = 0.

      982. а) Окружность радиуса 4 с центром В; б) окружность радиуса 1/3 с центром D, лежащим на отрезке ВС, причём BD = 1/3

      983. Окружность с центром в точке О радиуса , если k2 > 2а2, и точка О, если k2 = 2а2, где О — середина отрезка АВ и Если k2 < 2а2, то точек, удовлетворяющих условию задачи, не существует.

      985. Серединный перпендикуляр к отрезку АВ', где В' и В — точки, симметричные относительно точки А.

      986. Прямая ВС. Указание. Выбрать прямоугольную систему координат так, чтобы точки А и В лежали на оси Ох и были симметричны относительно оси Оу.

      987. Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей ромба и перпендикулярная к стороне ромба.

Рейтинг@Mail.ru