§ 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника
Теорема о площади треугольника
Теорема
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.
Доказательство
Пусть в треугольнике АВС ВС = а, СА = b и S — площадь этого треугольника. Докажем, что
Рис. 292
Введём систему координат с началом в точке С так, чтобы точка В лежала на положительной полуоси Сх, а точка А имела положительную ординату (рис. 292). Площадь данного треугольника можно вычислить по формуле , где h — высота треугольника. Но h равна ординате точки А, т. е. h = b sin С. Следовательно, .
Теорема доказана.
Теорема синусов
Теорема
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
Доказательство
Пусть в треугольнике АВС АВ = с, ВС = а, СА = b. Докажем, что
По теореме о площади треугольника
Из первых двух равенств получаем:
откуда
Точно так же из второго и третьего равенств следует,
Итак,
Теорема доказана.
Замечание
Можно доказать (см. задачу 1033), что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности. Следовательно, для любого треугольника АВС со сторонами АВ = с, ВС = а и С А = b имеют место равенства
где R — радиус описанной окружности.
Теорема косинусов
Теорема
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон, умноженное на косинус угла между ними.
Доказательство
Пусть в треугольнике АВС АВ = с, ВС = а, СА = b. Докажем, например, что
а2 = b2 + с2 - 2bc cos А. (1)
Рис. 293
Введём систему координат с началом в точке А так, как показано на рисунке 293. Тогда точка В будет иметь координаты (с; 0), а точка С — координаты (b cos A; b sin А). По формуле расстояния между двумя точками получаем:
ВС2 - a2 = (b cos А - с)2 + b2 sin2 А =
= b2 cos2 А + b2 sin2 А - 2be cos А + с2 =
= b2 + с2 - 2bc cos А.
Теорема доказана.
Теорему косинусов называют иногда обобщённой теоремой Пифагора. Такое название объясняется тем, что в теореме косинусов содержится как частный случай теорема Пифагора. В самом деле, если в треугольнике АВС угол А прямой, то cos А = cos 90° = 0 и по формуле (1) получаем
а2 = b2 + с2,
т. е. квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Решение треугольников
Решением треугольника называется нахождение всех его шести элементов (т. е. трёх сторон и трёх углов) по каким-нибудь трём данным элементам, определяющим треугольник.
Рассмотрим три задачи на решение треугольника. При этом будем пользоваться такими обозначениями для сторон треугольника АВС: АВ = с, ВС = а, СА = b.
Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними
Задача 1
Дано: a, b, ∠C. Найти: с, ∠A, ∠B.
Решение
1. По теореме косинусов находим с:
Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними
2. Пользуясь теоремой косинусов, имеем:
Угол А находим с помощью микрокалькулятора или по таблице.
3. ∠B = 180° - ∠A - ∠C.
Решение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам
Задача 2
Дано: a, ∠B, ∠C. Найти: ∠A, b, с.
Решение
1. ∠A = 180° - ∠B - ∠C.
2. С помощью теоремы синусов вычисляем b и с:
Решение треугольника по трём сторонам
Задача 3
Дано: а, b и с. Найти: ∠A, ∠B и ∠C.
Решение
1. По теореме косинусов получаем:
Угол А находим с помощью микрокалькулятора или по таблице.
2. Аналогично находим угол В.
3. ∠C = 180° - ∠A - ∠B.
Пример
Футбольный мяч находится в точке А футбольного поля на расстояниях 23 м и 24 м от оснований В и С стоек ворот (рис. 294). Футболист направляет мяч в ворота. Найдите угол α попадания мяча в ворота, если ширина ворот равна 7 м.
Рис. 294
Решение
Рассмотрим треугольник АВС, вершинами которого являются точка А расположения мяча и точки В и С в основаниях стоек ворот. По условию задачи с = АВ = 23 м, b = АС = 24 м и а = ВС= 7 м. Эти данные позволяют решить треугольник АВС и найти угол α, равный углу А (см. задачу 3). С помощью теоремы косинусов определяем cos А:
Угол α находим по таблице: α ≈ 16°57'.
Измерительные работы
Тригонометрические формулы используются при проведении различных измерительных работ на местности.
Измерение высоты предмета.
Предположим, что требуется определить высоту АН какого-то предмета (рис. 295). Для этого отметим точку В на определённом расстоянии а от основания Н предмета и измерим угол ABH: ∠ABH = α. По этим данным из прямоугольного треугольника АНВ находим высоту предмета: АН = a tg α.
Рис. 295
Если основание предмета недоступно, то можно поступить так: на прямой, проходящей через основание Н предмета, отметим две точки B и С на определённом расстоянии а друг от друга и измерим углы АВН и АСВ: ∠ABH= α. и ∠ACB = β (см. рис. 295). Эти данные позволяют определить все элементы треугольника АВС, в частности АВ. В самом деле, ∠ABH — внешний угол треугольника АВС, поэтому ∠A = α - β. Используя теорему синусов, находим АВ:
Из прямоугольного треугольника АВН находим высоту АН предмета:
АН = АВ • sin α.
Итак,
Измерение расстояния до недоступной точки.
Предположим, что нам надо найти расстояние d от пункта А до недоступного пункта С (рис. 296). Напомним, что эту задачу мы уже решали в 8 классе с помощью признаков подобия треугольников. Рассмотрим теперь другой способ решения задачи — с использованием формул тригонометрии.
Рис. 296
На местности выберем точку В и измерим длину с отрезка АВ. Затем измерим, например с помощью астролябии, углы А и В: ∠A = α и ∠В = β. Эти данные, т. е. с, α и β позволяют решить треугольник АВС и найти искомое расстояние d = АС.
Сначала находим ∠C и sin С:
∠C = 180° - α - β,
sin С = sin (180° - α - β) = sin (α + β).
Затем с помощью теоремы синусов находим d. Так как AC = d, АВ = с, ∠B = β, то
Аналогичным образом по так называемому параллаксу небесных светил определяют расстояния до этих светил.
Задачи
1020. Найдите площадь треугольника АВС, если: а) АВ = 6√8 см, АС = 4 см, ∠A = 60°; б) ВС = 3см, АВ = 18√;2 см, ∠B = 45°; в) АС = 14 см, СВ = 7 см, ∠C = 48°.
1021. Докажите, что площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними.
1022. Площадь треугольника АВС равна 60 см2. Найдите сторону АВ, если АС = 15 см, ∠A = 30°.
1023. Найдите площадь прямоугольника, диагональ которого равна 10 см, а угол между диагоналями равен 30°.
1024. Найдите площадь треугольника АВС, если:
а) ∠A = α, а высоты, проведённые из вершин В и С, соответственно равны hb и hc;
б) ∠A = α, ∠B = β, а высота, проведённая из вершины В, равна h.
1025. С помощью теорем синусов и косинусов решите треугольник АВС, если:
a) ∠A = 60°, ∠B = 40°, с = 14;
б) ∠A = 30°, ∠C = 75°, 6 = 4,5;
в) ∠A = 80°, а = 16, b = 10;
г) ∠B = 45°, ∠C = 70°, а = 24,6;
д) ∠A = 60°, а = 10, b = 7;
е) а = 6,3, 6 = 6,3, ∠C = 54°;
ж) 6 = 32, с = 45, ∠A = 87°;
з) а = 14, 6 = 18, с = 20;
и) а = 6, b = 7,3, с = 4,8.
1026. В треугольнике АВС АС= 12 см, ∠A- 75°, ∠C = 60°. Найдите АВ и SABC.
1027. Найдите стороны треугольника АВС, если ∠A = 45°, ∠C = 30°, а высота AD равна 3 м.
1028. В параллелограмме ABCD BD = 4,4 м, А А = 22°30'.
1029. Найдите биссектрисы треугольника, если одна из его сторон равна а, а прилежащие к этой стороне углы равны α и β.
1030. Смежные стороны параллелограмма равны а и b, а один из его углов равен а. Найдите диагонали параллелограмма и угол между ними.
1031. Выясните, является ли треугольник остроугольным, прямоугольным или тупоугольным, если его стороны равны: а) 5, 4 и 4; б) 17, 8 и 15; в) 9, 5 и 6.
1032. Две равные по величине силы приложены к одной точке под углом 72° друг к другу. Найдите величины этих сил, если величина их равнодействующей равна 120 кг.
1033. Докажите, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности.
Решение
Пусть R — радиус окружности, описанной около треугольника АВС. Докажем, что или BC = 2R sin А.
Проведём диаметр ВА1 (рис. 297) и рассмотрим треугольник А1ВС (случай, когда точки А1 и С совпадают, рассмотрите самостоятельно). Угол С этого треугольника прямой, поэтому ВС = ВА1 • sin А1. Но sin А1 = sin А. Действительно, если точка A1 лежит на дуге ВАС (рис. 297, а), то ∠A1 = ∠A, а если на дуге BDC (рис. 297, б), то ∠A1 = 180° - ∠A. И в том, и в другом случае sin А1 = sin А. Следовательно,
ВС = ВА1 • sin А, или ВС = 2R sin А.
Рис. 297
1034. В равнобедренной трапеции меньшее основание равно боковой стороне, большее основание равно 10 см, а угол при основании равен 70°. Найдите периметр трапеции.
1035. В окружности проведены хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке Е. Найдите острый угол между этими хордами, если АВ = 13см, СЕ = 9 см, ED = 4 см и расстояние между точками В и D равно 4√3 см.
1036. Наблюдатель находится на расстоянии 50 м от башни, высоту которой хочет определить (рис. 298). Основание башни он видит под углом 2° к горизонту, а вершину — под углом 45° к горизонту. Какова высота башни?
Рис. 298
1037. Для определения ширины реки отметили два пункта А и В на берегу реки на расстоянии 70 м друг от друга и измерили углы САВ и АВС, где С — дерево, стоящее на другом берегу у кромки воды. Оказалось, что ∠CAB= 12°30', ∠ABC = 72°42'. Найдите ширину реки.
1038. На горе находится башня, высота которой равна 100 м (рис. 299). Некоторый предмет А у подножия горы наблюдают сначала с вершины В башни под углом 60° к горизонту, а потом с её основания С под углом 30°. Найдите высоту Н горы.
Рис. 299
Ответы
1020. а) 12√6 см2; б) 27 см2; в) ≈ 36 см2.
1022. 16 см.
1023. 25 см2.
1024.
1025.
a) ∠C = 80°, а ≈ 12,3, b ≈ 9,1;
б) ∠B = 75°, с ≈ 4,5, а ≈ 2,3;
в) ∠B ≈ 37,989° ≈ 37°59', ∠C ≈ 62°01', с =14;
г) ∠A = 65°, b — 19,2, с-25,5;
д) ∠B ≈ 37,317° = 37°19', ∠C ≈ 82°41', с ≈ 11;
е) с ≈ 5,7, ∠A = ∠B = 63°;
ж) а ≈ 53,84, ∠B ≈ 36,296° ≈ 36°18', ∠C ≈ 56°42';
з) ∠A = 42,833° ≈ 42°50', ∠B ≈ 60,941° ≈ 60°57', ∠C ≈ 76°13';
и) ∠A ≈ 54,883° ≈ 54°52', ∠B ≈ 84,270° ≈ 84°16', ∠C ≈ 40°52'.
1026. АВ ≈15 см, SADC ≈ 87 см2.
1027. АС = 6 м, АВ ≈ 3 м, ВС ≈ 4 м.
1028. ≈ 39°38', ≈ 117°52' или ≈ 140°22', ≈ 17°08'.
1029. где у = если α ≥ β, и если β > α.
1030. где γ — угол между диагоналями параллелограмма.