Геометрия
7-9 классы

§ 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника

Теорема о площади треугольника

Теорема

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Доказательство

Пусть в треугольнике АВС ВС = а, СА = b и S — площадь этого треугольника. Докажем, что

Рис. 292

Введём систему координат с началом в точке С так, чтобы точка В лежала на положительной полуоси Сх, а точка А имела положительную ординату (рис. 292). Площадь данного треугольника можно вычислить по формуле , где h — высота треугольника. Но h равна ординате точки А, т. е. h = b sin С. Следовательно, .

Теорема доказана.

Теорема синусов

Теорема

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Доказательство

Пусть в треугольнике АВС АВ = с, ВС = а, СА = b. Докажем, что

По теореме о площади треугольника

Из первых двух равенств получаем:

откуда

Точно так же из второго и третьего равенств следует,

Итак,

Теорема доказана.

Замечание

Можно доказать (см. задачу 1033), что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности. Следовательно, для любого треугольника АВС со сторонами АВ = с, ВС = а и С А = b имеют место равенства

где R — радиус описанной окружности.

Теорема косинусов

Теорема

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон, умноженное на косинус угла между ними.

Доказательство

Пусть в треугольнике АВС АВ = с, ВС = а, СА = b. Докажем, например, что

а² = b² + с² - 2bc cos А. (1)

Рис. 293

Введём систему координат с началом в точке А так, как показано на рисунке 293. Тогда точка В будет иметь координаты (с; 0), а точка С — координаты (b cos A; b sin А). По формуле расстояния между двумя точками получаем:

ВС² - a² = (b cos А - с)² + b² sin2 А =
= b² cos² А + b² sin² А - 2be cos А + с² =
= b² + с² - 2bc cos А.

Теорема доказана.

Теорему косинусов называют иногда обобщённой теоремой Пифагора. Такое название объясняется тем, что в теореме косинусов содержится как частный случай теорема Пифагора. В самом деле, если в треугольнике АВС угол А прямой, то cos А = cos 90° = 0 и по формуле (1) получаем

а² = b² + с²,

т. е. квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Решение треугольников

Решением треугольника называется нахождение всех его шести элементов (т. е. трёх сторон и трёх углов) по каким-нибудь трём данным элементам, определяющим треугольник.

Рассмотрим три задачи на решение треугольника. При этом будем пользоваться такими обозначениями для сторон треугольника АВС: АВ = с, ВС = а, СА = b.

Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Задача 1

Дано: a, b, ∠C. Найти: с, ∠A, ∠B.

Решение

1. По теореме косинусов находим с:

Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними

2. Пользуясь теоремой косинусов, имеем:

Угол А находим с помощью микрокалькулятора или по таблице.

3. ∠B = 180° - ∠A - ∠C.

Решение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам

Задача 2

Дано: a, ∠B, ∠C. Найти: ∠A, b, с.

Решение

1. ∠A = 180° - ∠B - ∠C.

2. С помощью теоремы синусов вычисляем b и с:

Решение треугольника по трём сторонам

Задача 3

Дано: а, b и с. Найти: ∠A, ∠B и ∠C.

Решение

1. По теореме косинусов получаем:

Угол А находим с помощью микрокалькулятора или по таблице.

2. Аналогично находим угол В.

3. ∠C = 180° - ∠A - ∠B.

Пример

Футбольный мяч находится в точке А футбольного поля на расстояниях 23 м и 24 м от оснований В и С стоек ворот (рис. 294). Футболист направляет мяч в ворота. Найдите угол α попадания мяча в ворота, если ширина ворот равна 7 м.

Рис. 294

Решение

Рассмотрим треугольник АВС, вершинами которого являются точка А расположения мяча и точки В и С в основаниях стоек ворот. По условию задачи с = АВ = 23 м, b = АС = 24 м и а = ВС= 7 м. Эти данные позволяют решить треугольник АВС и найти угол α, равный углу А (см. задачу 3). С помощью теоремы косинусов определяем cos А:

Угол α находим по таблице: α ≈ 16°57'.

Измерительные работы

Тригонометрические формулы используются при проведении различных измерительных работ на местности.

Измерение высоты предмета.

Предположим, что требуется определить высоту АН какого-то предмета (рис. 295). Для этого отметим точку В на определённом расстоянии а от основания Н предмета и измерим угол ABH: ∠ABH = α. По этим данным из прямоугольного треугольника АНВ находим высоту предмета: АН = a tg α.

Рис. 295

Если основание предмета недоступно, то можно поступить так: на прямой, проходящей через основание Н предмета, отметим две точки B и С на определённом расстоянии а друг от друга и измерим углы АВН и АСВ: ∠ABH= α. и ∠ACB = β (см. рис. 295). Эти данные позволяют определить все элементы треугольника АВС, в частности АВ. В самом деле, ∠ABH — внешний угол треугольника АВС, поэтому ∠A = α - β. Используя теорему синусов, находим АВ:

Из прямоугольного треугольника АВН находим высоту АН предмета:

АН = АВ • sin α.

Итак,

Измерение расстояния до недоступной точки.

Предположим, что нам надо найти расстояние d от пункта А до недоступного пункта С (рис. 296). Напомним, что эту задачу мы уже решали в 8 классе с помощью признаков подобия треугольников. Рассмотрим теперь другой способ решения задачи — с использованием формул тригонометрии.

Рис. 296

На местности выберем точку В и измерим длину с отрезка АВ. Затем измерим, например с помощью астролябии, углы А и В: ∠A = α и ∠В = β. Эти данные, т. е. с, α и β позволяют решить треугольник АВС и найти искомое расстояние d = АС.

Сначала находим ∠C и sin С:

∠C = 180° - α - β,
sin С = sin (180° - α - β) = sin (α + β).

Затем с помощью теоремы синусов находим d. Так как AC = d, АВ = с, ∠B = β, то

Аналогичным образом по так называемому параллаксу небесных светил определяют расстояния до этих светил.

Задачи

1020. Найдите площадь треугольника АВС, если: а) АВ = 6√8 см, АС = 4 см, ∠A = 60°; б) ВС = 3см, АВ = 18√;2 см, ∠B = 45°; в) АС = 14 см, СВ = 7 см, ∠C = 48°.

1021. Докажите, что площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними.

1022. Площадь треугольника АВС равна 60 см². Найдите сторону АВ, если АС = 15 см, ∠A = 30°.

1023. Найдите площадь прямоугольника, диагональ которого равна 10 см, а угол между диагоналями равен 30°.

1024. Найдите площадь треугольника АВС, если:

а) ∠A = α, а высоты, проведённые из вершин В и С, соответственно равны h_b и h_c;
б) ∠A = α, ∠B = β, а высота, проведённая из вершины В, равна h.

1025. С помощью теорем синусов и косинусов решите треугольник АВС, если:

a) ∠A = 60°, ∠B = 40°, с = 14;
б) ∠A = 30°, ∠C = 75°, 6 = 4,5;
в) ∠A = 80°, а = 16, b = 10;
г) ∠B = 45°, ∠C = 70°, а = 24,6;
д) ∠A = 60°, а = 10, b = 7;
е) а = 6,3, 6 = 6,3, ∠C = 54°;
ж) 6 = 32, с = 45, ∠A = 87°;
з) а = 14, 6 = 18, с = 20;
и) а = 6, b = 7,3, с = 4,8.

1026. В треугольнике АВС АС= 12 см, ∠A- 75°, ∠C = 60°. Найдите АВ и S_ABC.

1027. Найдите стороны треугольника АВС, если ∠A = 45°, ∠C = 30°, а высота AD равна 3 м.

1028. В параллелограмме ABCD BD = 4,4 м, А А = 22°30'.

1029. Найдите биссектрисы треугольника, если одна из его сторон равна а, а прилежащие к этой стороне углы равны α и β.

1030. Смежные стороны параллелограмма равны а и b, а один из его углов равен а. Найдите диагонали параллелограмма и угол между ними.

1031. Выясните, является ли треугольник остроугольным, прямоугольным или тупоугольным, если его стороны равны: а) 5, 4 и 4; б) 17, 8 и 15; в) 9, 5 и 6.

1032. Две равные по величине силы приложены к одной точке под углом 72° друг к другу. Найдите величины этих сил, если величина их равнодействующей равна 120 кг.

1033. Докажите, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности.

Решение

Пусть R — радиус окружности, описанной около треугольника АВС. Докажем, что или BC = 2R sin А.

Проведём диаметр ВА₁ (рис. 297) и рассмотрим треугольник А₁ВС (случай, когда точки А₁ и С совпадают, рассмотрите самостоятельно). Угол С этого треугольника прямой, поэтому ВС = ВА₁ • sin А₁. Но sin А₁ = sin А. Действительно, если точка A₁ лежит на дуге ВАС (рис. 297, а), то ∠A₁ = ∠A, а если на дуге BDC (рис. 297, б), то ∠A₁ = 180° - ∠A. И в том, и в другом случае sin А₁ = sin А. Следовательно,

ВС = ВА₁ • sin А, или ВС = 2R sin А.

Рис. 297

1034. В равнобедренной трапеции меньшее основание равно боковой стороне, большее основание равно 10 см, а угол при основании равен 70°. Найдите периметр трапеции.

1035. В окружности проведены хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке Е. Найдите острый угол между этими хордами, если АВ = 13см, СЕ = 9 см, ED = 4 см и расстояние между точками В и D равно 4√3 см.

1036. Наблюдатель находится на расстоянии 50 м от башни, высоту которой хочет определить (рис. 298). Основание башни он видит под углом 2° к горизонту, а вершину — под углом 45° к горизонту. Какова высота башни?

Рис. 298

1037. Для определения ширины реки отметили два пункта А и В на берегу реки на расстоянии 70 м друг от друга и измерили углы САВ и АВС, где С — дерево, стоящее на другом берегу у кромки воды. Оказалось, что ∠CAB= 12°30', ∠ABC = 72°42'. Найдите ширину реки.

1038. На горе находится башня, высота которой равна 100 м (рис. 299). Некоторый предмет А у подножия горы наблюдают сначала с вершины В башни под углом 60° к горизонту, а потом с её основания С под углом 30°. Найдите высоту Н горы.