Геометрия
7-9 классы

       

Вопросы для повторения к главе XII

1. Какой многоугольник называется правильным? Приведите примеры правильных многоугольников.

2. Выведите формулу для вычисления угла правильного n-угольника.

3. Сформулируйте и докажите теорему об окружности, описанной около правильного многоугольника.

4. Сформулируйте и докажите теорему об окружности, вписанной в правильный многоугольник.

5. Выведите формулу для вычисления площади правильного многоугольника через его периметр и радиус вписанной окружности.

6. Выведите формулы для вычисления стороны правильного n-угольника и радиуса вписанной в него окружности через радиус описанной окружности.

7. Как выражаются стороны правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника через радиус описанной окружности?

8. Выведите формулу для вычисления длины окружности.

9. Объясните, какое число обозначается буквой π и чему равно его приближённое значение.

10. Выведите формулу для вычисления длины дуги окружности.

11. Выведите формулу для вычисления площади круга.

12. Что такое круговой сектор? Выведите формулу для вычисления площади кругового сектора.

13. Что такое круговой сегмент? Объясните, как можно вычислить его площадь.

Дополнительные задачи

1129. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, один из внешних углов которого равен: а) 18°; б) 40°; в) 72°; г) 60°?

1130. На стороне правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса 3 дм, построен квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата.

1131. Найдите периметр правильного шестиугольника А1А2А3А4А5А6, если A1A4 = 2,24 см.

1132. Найдите отношение периметров правильного треугольника и квадрата: а) вписанных в одну и ту же окружность; б) описанных около одной и той же окружности.

1133. Диагонали A1A6 и А2А9 правильного двенадцатиугольника пересекаются в точке В (рис. 318). Докажите, что: а) треугольники А1А2В и А6А9В равносторонние; б) А1А6 = 2r, где r — радиус вписанной в двенадцатиугольник окружности.

Рис. 318

1134. Диагонали A1A4 и А2А7 правильного десятиугольника A1A2...A10, вписанного в окружность радиуса R, пересекаются в точке В (рис. 319). Докажите, что: a) A2A7 = 2R; б) ΔA1A2B и ΔВА4O— подобные равнобедренные треугольники; в) А1А4 - A1A2 = R.

Рис. 319

1135. В круг, площадь которого равна 360 см2, вписан правильный шестиугольник. Найдите сторону этого шестиугольника и его площадь.

1136. Квадрат A1A2A3A4 вписан в окружность радиуса R (рис. 320). На его сторонах отмечены восемь точек так, что A1B1 = А2В2 = А3В3 = А4В4 = A1C1 = А2С2 = А3С3 = А4С4 = R. Докажите, что восьмиугольник B1C3B2C4B3C1B4C2 правильный, и выразите площадь этого восьмиугольника через радиус R.

Рис. 320

1137. За два оборота по круговой орбите вокруг Земли космический корабль проделал путь 84 152 км. На какой высоте над поверхностью Земли находится корабль, если радиус Земли равен 6370 км?

1138. Найдите длину окружности, вписанной в ромб, если:

    а) диагонали ромба равны 6 см и 8 см;
    б) сторона ромба равна а и острый угол равен α.

1139. Лесной участок имеет форму круга. Чтобы обойти этот участок по опушке, идя со скоростью 4 км/ч, нужно затратить на 45 мин больше, чем для того, чтобы пересечь его по диаметру. Найдите длину опушки данного участка.

1140. В правильный многоугольник вписана окружность. Докажите, что отношение площади круга, ограниченного этой окружностью, к площади многоугольника равно отношению длины окружности к периметру многоугольника.

1141. Фигура ограничена большими дугами двух окружностей, имеющих общую хорду, длина которой равна 6 см. Для одной окружности эта хорда является стороной вписанного квадрата, для другой — стороной правильного вписанного шестиугольника. Найдите сумму длин этих дуг.

1142. Основания трапеции, около которой можно описать окружность, равны 4 см и 14 см, а одна из боковых сторон равна 13 см. Найдите длину описанной окружности.

1143. Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, разделяет треугольник на два подобных треугольника (см. задачу 2, п. 65). Докажите, что отношение длин окружностей, вписанных в эти треугольники, равно коэффициенту подобия этих треугольников.

Задачи на построение

1144. Постройте правильный восьмиугольник, сторона которого равна данному отрезку.

1145. Даны два круга. Постройте круг, площадь которого равна сумме площадей данных кругов.

1146. Около данной окружности опишите: а) правильный треугольник; б) правильный шестиугольник.

1147. Около данной окружности опишите: а) правильный четырёхугольник; б) правильный восьмиугольник.

Ответы к дополнительным задачам

    1129. а) 20; б) 9; в) 5; г) 6.

    1130.

    1131. 6,72 см.

    1132.

    1135. 6 см; 54√3 см2.

    1137. 330 км.

    1138. а) ≈ 15,1 см; б) πа sin α.

    1139. ≈ 4,4 км.

    1141.

    1142.

    1144. Указание. Пусть ABCDEFGH — искомый восьмиугольник, а О — центр описанной окружности. Сначала построить равнобедренный треугольник АВО.

    1145. Указание. Использовать теорему Пифагора.

    1146. Указание. Сначала вписать в окружность правильный треугольник и правильный шестиугольник.

Рейтинг@Mail.ru