Геометрия
7-9 классы

       

§ 5. Измерение углов

Градусная мера угла

Измерение углов аналогично измерению отрезков — оно основано на сравнении их с углом, принятым за единицу измерения. Обычно за единицу измерения углов принимают градус — угол, равный 1/180 части развёрнутого угла. Эта единица измерения углов была введена много веков назад, ещё до нашей эры.

Положительное число, которое показывает, сколхжо раз градус и его части укладываются в данном угле, называется градусной мерой угла. Для измерения углов используется транспортир (рис. 32).


Рис. 32

На рисунке 33, а изображён угол АОВ, градусная мера которого равна 150°. Обычно говорят кратко: «Угол АОВ равен 150°» — и пишут: ∠AOB = 150°. На рисунке 33, б угол hk равен 40° (∠hk = 40°). Определённые части градуса носят специальные названия: 1/60 часть градуса называется минутой, 1/60 часть минуты называется секундой. Минуты обозначают знаком «'», а секунды — знаком «"». Например, угол в 60 градусов, 32 минуты и 17 секунд обозначается так: 60°32'17".


Рис. 33

Если два угла равны, то градус и его части укладываются в этих углах одинаковое число раз, т. е. равные углы имеют равные градусные меры.

Если же один угол меньше другого, то в нём градус (или его часть) укладывается меньшее число раз, чем в другом "угле, т. е. меньший угол имеет меньшую градусную меру.

Так как градус составляет 1/180 часть развернутого угла, то он укладывается в развёрнутом угле ровно 180 раз, т. е. развёрнутый угол равен 180°.

Неразвёрнутый угол меньше развёрнутого угла, поэтому неразвёрнутый угол меньше 180°.

На рисунке 34 изображены лучи с началом в точке О. Луч ОС делит угол АОВ на два угла: АОС и СОВ. Мы видим, что ∠AOC = 40°, ∠COB = 120°, ∠AOB = 160°. Таким образом,

∠AOC + ∠COB = ∠AOB.


Рис. 34

Ясно, что и во всех других случаях, когда луч делит угол на два угла, градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов.

Угол называется прямым, если он равен 90° (рис. 35, а), острым, если он меньше 90°, т. е. меньше прямого угла (рис. 35, б), тупым, если он больше 90°, но меньше 180°, т. е. больше прямого, но меньше развёрнутого угла (рис. 35, в).


Рис. 35

Прямые углы мы видим в окружающей нас обстановке: прямой угол образуют линии пересечения стен и потолка в комнате, два края стола прямоугольной формы и т. д.

Измерение углов на местности

Измерение углов на местности проводится с помощью специальных приборов. Простейшим из них является астролябия (рис. 36). Она состоит из двух частей: диска, разделённого на градусы, и вращающейся вокруг центра диска линейки (алидады). На концах алидады находятся два узких окошечка, которые используются для установки её в определённом направлении.


Рис. 36

Для того чтобы измерить угол АОВ на местности, треножник с астролябией ставят так, чтобы отвес, подвешенный к центру диска, находился точно над точкой О. Затем устанавливают алидаду вдоль одной из сторон ОА или ОВ и отмечают деление, против которого находится указатель алидады. Далее поворачивают алидаду, направляя её вдоль другой стороны измеряемого угла, и отмечают деление, против которого окажется указатель алидады. Разность отсчёта и даёт градусную меру угла АОВ.

Измерения углов проводятся в различных исследованиях, например в астрономии при определении положения небесных тел. Очень важно с достаточной точностью измерять углы при определении положения искусственных спутников на орбитах. Для этой цели конструируют специальные приборы. Данные, полученные с помощью этих приборов, обрабатываются на электронно-вычислительных машинах (компьютерах).

Практические задания

41. Начертите три неразвёрнутых угла и один развёрнутый угол и обозначьте их так: ∠AOB, ∠CDE, ∠hk и ∠MNP. С помощью транспортира измерьте углы и запишите результаты измерений.

42. Начертите луч О А и с помощью транспортира отложите от луча О А углы АОВ, АОС и AOD так, чтобы ∠AOB = 23°, ∠AOC - 67°, ∠AOD = 138°.

43. Начертите угол, равный 70°, и с помощью транспортира проведите его биссектрису.

44. Начертите угол АОВ и с помощью транспортира проведите луч ОС так, чтобы луч ОА являлся биссектрисой угла ВОС. Всегда ли это выполнимо?

Ответ

    44. Нет. Построение выполнимо, когда ∠AOB острый или прямой.

Задачи

45. Градусные меры двух углов равны. Равны ли сами углы?

46. На рисунке 37 изображены лучи с общим началом О.

    а) Найдите градусные меры углов АОХ, BOX, АОВ, СОВ, DOX;
    б) назовите углы, равные 20°;
    в) назовите равные углы;
    г) назовите все углы со стороной О А и найдите их градусные меры.


    Рис. 37

    47. Луч ОЕ делит угол АОВ на два угла. Найдите ∠AOB, если:

      а) ∠AOE = 44°, ∠EOB = 77°;
      б) ∠AOE = 12°37', ∠EOB = 108°25'.

    48. Луч ОС делит угол АОВ на два угла. Найдите угол СОВ, если ∠AOB = 78°, а угол АОС на 18° меньше угла ВОС.

    49. Луч ОС делит угол АОВ на два угла. Найдите угол АОС, если ∠AOB = 155°, а угол АОС на 15° больше угла СОВ.

    50. Угол АОВ является частью угла АОС. Известно, что ∠AOC= 108°, ∠AOB = 3 ∠BOC. Найдите угол АОВ.

    51. На рисунке 38 угол AOD — прямой, ∠AOB = ∠BOC = ∠COD. Найдите угол, образованный биссектрисами углов АОВ и COD.


    Рис. 38

    52. На рисунке 39 луч OV является биссектрисой угла ∠OY, а луч OU — биссектрисой угла XOY. Найдите угол XO∠, если ∠UOV =80°.


    Рис. 39

    53. Луч l является биссектрисой неразвёрнутого угла hk. Может ли угол hl быть прямым или тупым?

    Ответы к задачам

      45. Да.

      47. а) 121°; б) 121°2'.

      48. 48°.

      49. 85°.

      50. 81°.

      51. 60°.

      52. 160°.

      53. Нет.

Рейтинг@Mail.ru