4 Объясните, что такое параллелепипед; какие многоугольники являются гранями: а) параллелепипеда; б) прямого параллелепипеда; в) прямоугольного параллелепипеда.
5 Докажите, что четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
6 Объясните, как измеряются объёмы тел; что показывает число, выражающее объём тела при выбранной единице измерения объёмов.
7 Сформулируйте основные свойства объёмов.
8 Объясните, в чём заключается принцип Кавальери.
9 Что такое измерения прямоугольного параллелепипеда? Докажите, что квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.
10 Докажите, что объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений.
11 Какой формулой выражается объём призмы?
12 Объясните, какой многогранник называется n-угольной пирамидой; что такое основания, боковые грани, вершина, боковые рёбра и высота пирамиды.
13 Объясните, какая пирамида называется правильной; что такое апофема правильной пирамиды.
14 Какой формулой выражается объём пирамиды?
15 Объясните, какое тело называется цилиндром; что такое ось, высота, основания, радиус, боковая поверхность, образующие цилиндра.
Какой формулой выражается объём цилиндра?
17 Объясните, как получается и что представляет собой развёртка боковой поверхности цилиндра.
18 Какой формулой выражается площадь боковой поверхности Цилиндра?
19 Объясните, какое тело называется конусом; что такое ось, высота, основания, боковая поверхность, образующие конуса.
20 Какой формулой выражается объём конуса?
21 Объясните, как получается и что представляет собой развёртка боковой поверхности конуса.
22 Какой формулой выражается площадь боковой поверхности конуса?
23 Что называется сферой и что такое её центр, радиус и диаметр?
24 Какое тело называется шаром и что такое его центр, радиус и диаметр?
25 Какой формулой выражается объём шара?
26 Какой формулой выражается площадь сферы?
Дополнительные задачи
1232. Докажите, что диагональ параллелепипеда меньше суммы трёх рёбер, имеющих общую вершину.
1233. Докажите, что сумма квадратов четырёх диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов двенадцати его рёбер.
1234. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте:
а) его сечения плоскостями АВС1 и DCB1, а также отрезок, по которому эти сечения пересекаются;
б) его сечение плоскостью, проходящей через ребро СС, и точку пересечения диагоналей грани AA1D1D.
1235. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью BKL, где К — середина ребра АА1, a L — середина ребра СС1. Докажите, что построенное сечение — параллелограмм.
1236. Сумма площадей трёх граней прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, равна 404 дм2, а его рёбра пропорциональны числам 3, 7 и 8. Найдите диагональ параллелепипеда.
1237. Найдите объём куба ABCDA1B1C1D1, если: а) АС = 12 см; б) АС1 = 3√2; в) DE = 1 см, где Е — середина ребра АВ.
1238. Найдите объём прямой призмы АВСА1В1С1, если АВ = ВС = m, ∠ABC = φ и ВВ1 = BD, где BD — высота треугольника АВС.
1239. Наибольшая диагональ правильной шестиугольной призмы равна 8 см и составляет с боковым ребром угол в 30°. Найдите объём призмы.
1240. Изобразите тетраэдр DABC, отметьте точку К на ребре DC и точки М и N граней АВС и ACD. Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNK.
1241. Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами 5 м и 4 м и меньшей диагональю 3 м. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 2 м. Найдите площадь поверхности пирамиды, т. е. сумму площадей всех её граней.
1242. Найдите объём правильной треугольной пирамиды, высота которой равна 12 см, а сторона основания равна 13 см.
1243. В правильной n-угольной пирамиде плоский угол при вершине равен α, а сторона основания равна а. Найдите объём пирамиды.
1244. Алюминиевый провод диаметром 4 мм имеет массу 6,8 кг. Найдите длину провода (плотность алюминия равна 2,6 г/см3).
1245. Свинцовая труба (плотность свинца равна 11,4 г/см3) с толщиной стенок 4 мм имеет внутренний диаметр 13 мм. Какова масса трубы, если её длина равна 25 м?
1246. Высота цилиндра на 12 см больше его радиуса, а площадь полной поверхности равна 288 π см2. Найдите радиус основания и высоту цилиндра.
1247. Из квадрата, диагональ которого равна d, свёрнута боковая поверхность цилиндра. Найдите площадь основания цилиндра.
1248. Высота конуса равна 5 см. На расстоянии 2 см от вершины его пересекает плоскость, параллельная основанию. Найдите объём этого конуса, если объём отсекаемого от него конуса равен 24 см3.
1249. Высота конуса равна 12 см, а его объём равен 324π см3. Найдите дугу развёртки боковой поверхности этого конуса.
1250. Вычислите площадь основания и высоту конуса, если развёрткой его боковой поверхности является сектор, радиус которого равен 9 см, а дуга равна 120°.
1251. Равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна m, а угол при основании равен φ, вращается вокруг основания. Найдите площадь поверхности тела, полученного при этом вращении.
1252. Шар и цилиндр имеют равные объёмы, а диаметр шара равен диаметру цилиндра. Выразите высоту цилиндра через радиус шара.
1253. В цилиндрическую мензурку диаметром 2,5 см, наполненную водой до некоторого уровня, опускают 4 равных металлических шарика диаметром 1 см. На сколько изменится уровень воды в мензурке?
1254. Вода покрывает приблизительно 3/4 земной поверхности. Сколько квадратных километров земной поверхности занимает суша (радиус Земли считать равным 6375 км)?
1255. В каком отношении находятся объёмы двух шаров, если площади их поверхностей относятся как m2 : n2?
где Н — высота цилиндра, R — радиус шара.
см.