Учебник для 6 класса

Математика

13. Умножение дробей

Задача 1. В бутылке л сока. Сколько сока в 5 таких бутылках?

Решение. Для решения задачи надо найти произведение • 5. Но умножить на натуральное число 5 — значит найти сумму пяти слагаемых, каждое из которых равно .

Значит, в 5 бутылках 3 л сока.

Задача 2. Длина прямоугольника дм, а ширина дм (рис. 19). Чему равна площадь прямоугольника?

Рис. 19

Решение. Из рисунка видно, что данный прямоугольник можно получить так: разделить одну сторону квадрата со стороной 1 дм на 5 одинаковых частей и взять 4 такие части, а другую сторону разделить на 3 одинаковые части и взять 2 такие части. При таком делении квадрат будет состоять из 15 равных частей, а прямоугольник будет состоять из 8 таких частей. Значит, площадь прямоугольника равна дм². Но мы знаем, что площадь прямоугольника равна произведению длины и ширины. Следовательно, число можно получить умножением на .

Итак,

Обычно вначале обозначают произведение числителей и произведение знаменателей, затем производят сокращение и только потом выполняют умножение. В ответе, если это возможно, из дроби исключают целую часть. Например:

Задача 3. Сколько километров проедет велосипедист за ч, если будет двигаться со скоростью км/ч?

Решение. Так как пройденный путь равен произведению скорости и времени, то для решения задачи надо найти произведение чисел и .

Представим каждое из этих чисел в виде неправильной дроби:

Теперь воспользуемся правилом умножения дробей. Получим:

Таким образом, за ч велосипедист проедет км.

С помощью умножения дробей решают такие же задачи, как и с помощью умножения натуральных чисел.

Задача 4. За 1 ч автоматическая линия производит ц пластмассы. Сколько пластмассы линия производит за ч?

Решение. Такие задачи с натуральными числами или с десятичными дробями мы решали с помощью умножения. Решим и эту задачу умножением:

Итак, за ч производится ц пластмассы, т. е. 33 кг.

Тот же ответ можно получить, если выразить данные числа в десятичных дробях: = 0,44, = 0,75, 0,44 • 0,75 = 0,33, но 0,33 ц = 33 кг.

Умножение дробей обладает переместительным и сочетательным свойствами.

Кроме того, для любого значения а:

а • 0 = 0 • а = 0; а • 1 = 1 • а = а.

Например,

Вопросы для самопроверки

• Расскажите, как умножить дробь на натуральное число.
• Расскажите, как выполнить умножение двух дробей и как выполнить умножение смешанных чисел.
• Какими свойствами обладает действие умножения дробей?
• Запишите свойства нуля и единицы при умножении.

Выполните упражнения

427. Выполните умножение:

428. Сторона квадрата м. Найдите периметр квадрата.

429. В одну банку помещается кг крупы. Сколько этой крупы вместят две, пять, десять таких же банок?

430. Найдите периметр треугольника ABC, если АВ = м, ВС больше АВ в 4 раза, а АС меньше ВС на м.

431. Выполните умножение:

432. Станок-автомат изготовляет одну деталь за мин. За сколько минут станок изготовит 3 детали, 4 детали, 60 деталей?

433. Выполните действие:

434. Сторона квадрата м. Чему равна площадь квадрата?

435. Найдите объём куба, ребро которого м.

436. Масса 1 л керосина составляет кг. Какова масса керосина?

437. Автомашина движется со скоростью км/мин. Какой путь пройдёт автомашина за мин; за мин?

438. Найдите значение выражения двумя способами: по правилу умножения обыкновенных дробей и по правилу умножения десятичных дробей. Сравните результаты.

439. Найдите произведение Проверьте результат, представив эти числа в виде десятичных дробей.

440. Представьте первый множитель в виде обыкновенной дроби и выполните умножение:

441. Представьте первый множитель в виде десятичной дроби и выполните умножение:

442. Выполните действия:

443. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны и . Найдите его объём.

444. Представьте в виде произведения двух дробей число:

445. Найдите значение выражения:

446. Выполните умножение:

447. Найдите по формуле пути s = vt значение s, если:

448. Найдите по формуле объёма прямоугольного параллелепипеда

449. Найдите массу метал л ической детали, объём которой равен дм³, если масса 1 дм³ этого металла равна кг.

450. Два велосипедиста выехали одновременно из одного и того же пункта и двигались в одном и том же направлении. Скорость первого велосипедиста км/ч, а скорость второго в раза больше. Какое расстояние будет между ними через ч?

451. Маша и Вера вышли из двух сёл навстречу друг другу. Маша шла со скоростью 3 км/ч, и её скорость была в раза меньше скорости Веры. Через ч девочки встретились. Найдите расстояние между сёлами.

452. Во дворе заливали каток с помощью двух шлангов. Через первый шланг за 1 ч поступало м3 воды, а через второй — м3. Первым шлангом каток заливали ч, а вторым — в раза дольше. Сколько воды израсходовали на заливку катка?

453. С первого поля, площадь которого га, собирали с 1 га по ц пшеницы, а со второго поля, площадь которого в раза больше площади первого поля, собирали по ц пшеницы с 1 га. Сколько всего центнеров пшеницы собрали с этих двух полей?

454. Найдите значение выражения:

455. Вычислите устно:

456. Найдите пропущенные числа:

457. Сумму данных дробей сложите с их разностью. Попробуйте догадаться, как быстрее и проще получить ответ:

458. Представьте дробь :

• а) в виде разности двух дробей со знаменателем 3; 18; 21;
• б) в виде суммы двух дробей со знаменателем 3; 9; 12.

459. На координатном луче (рис. 20) отмечены дробь и число а. Покажите, где расположены на луче точки

Рис. 20

460. Кто быстрее? Найдите в таблице последовательно все числа от 1 до 25:

461. Найдите значение выражения:

462. В алфавите племени аоку всего 6 букв — А, К, М, О, Р, У. Все слова в языке этого племени состоят из четырёх букв. Какое наибольшее число слов может быть в языке племени аоку? В скольких из этих слов буквы не повторяются?

463. На складе было т зерна. Сколько зерна стало на складе после того, как привезли т, а затем увезли т?

464. Сколько килограммов составляют:

• а) 1% центнера;
• б) 7% центнера;
• в) 2,5% центнера?

465. Сколько квадратных метров составляют:

• а) 1% гектара;
• б) 3,5% гектара;
• в) 15% ара;
• г) 0,07% квадратного километра?

466. Запишите, какую часть числа составляют: 1%, 3%, 15%, 25%, 10%, 20%, 50%.

467. Запишите в виде десятичной и в виде обыкновенной дроби: 35 %, 48%, 75%, 110%, 125%.

Образец записи: 5% = 0,05 =

468. Запишите в виде процентов:

Образец записи:

469. Решите задачу:

1. Задание рабочие выполнили за три дня. В первый день они сделали всей работы, во второй день — всей работы. Какую часть всей работы они выполнили в третий день?
2. Поле было засеяно за три дня. В первый день была засеяна всего поля, во второй день g всего поля. Какая часть всего поля была засеяна в третий день?

470. Решите уравнение:

471. Упростите выражение:

1. 3,7x + 2,5у + 1,6x + 4,8у;
2. 4,5m + 1,9n + 3,3m + 4,3n.

472. Выполните умножение:

473. Найдите значение выражения:

474. Скорость улитки м/мин. Какое расстояние проползёт улитка

475. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны

476. Масса 1 дм³ стали равна кг. Найдите массу стального куба, ребро которого дм.

477. Колесо делает оборота в минуту. Сколько оборотов оно совершит за 3 мин; за мин; за мин?

478. Выполните действия:

479. Выразите обыкновенной дробью: 26%, 45%, 80%, 90%.

480. Запишите в виде процентов: 0,23; 0,4; 0,07;

481. Моторная лодка догоняет плот. Сейчас расстояние между ними 35 км. Скорость плота 2,5 км/ч, а скорость моторной лодки 9,5 км/ч. Какое расстояние будет между ними через t часов, если t = 0,5; 3; 5?

482. Решите уравнение:

• а) 9,5x - (3,2x + 1,8x) + 3,75 = 6,9;
• б) 11,3у - (9,7у - 0,8у) + 7,4 = 17.

483. Выполните действия:

7,72 • 2,25 - 4,06: (0,824 + 1,176) - 12,423.