Учебник для 6 класса

Математика

19. Дробные выражения

Так как дробь равна частному 2 : 3, то и частное от деления одного выражения на другое можно записать с помощью черты. Например, выражение (41,3 - 4,4) : (15,3 + 33,9) можно записать так: . Выполнив указанные действия, найдём значение этого выражения: 0,75, или .

Например, - дробные выражения.

Выражение, стоящее над чертой, называют числителем, а выражение, стоящее под чертой, — знаменателем дробного выражения. Числителем и знаменателем дробного выражения могут быть любые числа, а также числовые или буквенные выражения.

С дробными выражениями можно выполнять действия по тем же правилам, что и с обыкновенными дробями. Пример 1. Найдём значение выражения .

Решение. Умножив числитель и знаменатель этого дробного выражения на 6, получим:

Пример 2. Найдём произведение .

Решение.

Пример 3. Найдём сумму .

Решение.

При сложении дробных выражений удобнее сначала представить их в виде обыкновенных дробей, а потом уже выполнять сложение:

Вопросы для самопроверки

• Какое выражение называют дробным?
• Как называют выражение, находящееся над чертой? под чертой?

Выполните упражнения

692. Назовите числитель и знаменатель выражения:

693. Напишите дробное выражение, числитель которого За - 2b, а знаменатель — 6,7х + y.

694. Запишите в виде дробного выражения частное:

(3,8 • 4,5 - 0,7) : (6,3 : 2,1 - 2,6).

Найдите значение этого выражения.

695. Найдите значение выражения:

696. Выполните действие:

697. Выполните действия:

698. Найдите значение выражения если:

699. Найдите значение выражения если:

700. Найти с помощью микрокалькулятора значение выражения можно по программе:

а значение выражения по такой программе:

Выполните вычисления по этим программам.

Постройте программу нахождения значения выражения и выполните по ней вычисления:

701. Вычислите устно:

702. На координатном луче отмечены числа а и b (рис. 30). Можно ли указать на луче точку с координатой ?

Рис. 30

703. Вычислите:

704. Найдите произведение дробей и произведение дробей, обратных данным. Каким свойством обладают эти два произведения? Проверьте ваше предположение ещё на одном примере. Докажите это свойство в общем виде (с помощью буквенных выражений).

705. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения , если х = .

706. Составьте задачу по уравнению:

707. Ваня и Таня должны были встретиться на станции, чтобы вместе поехать на поезде, который отправляется в 8 ч утра. Ваня думает, что его часы спешат на 35 мин, хотя в действительности они отстают на 15 мин. А Таня думает, что её часы отстают на 15 мин, хотя они на самом деле спешат на 10 мин. Что произойдёт, если каждый из них, полагаясь на свои часы, будет стремиться прийти за 5 мин до отхода поезда?

708. Возраст Серёжи составляет возраста отца. Серёже 12 лет. Сколько лет отцу?

709. Комбайнер за 1 ч скосил пшеницу с площади 3 га, что составляет 15% того, что он скосил за день. Какую площадь скосил комбайнер за день?

710. Груши составляют 25% всех деревьев сада, остальные 150 деревьев — яблони. Сколько грушевых деревьев в саду?

711. Площадь 60 га составляет 0,75 площади поля. Чему равна площадь поля?

712. Найдите число, если:

713. Участок земли, площадь которого 6 а, составляет сада, а площадь сада составляет всего приусадебного участка. Чему равна площадь всего приусадебного участка?

714. По плану бригада должна отремонтировать за месяц 25% дороги между двумя посёлками. За первую неделю отремонтировали 2 км 100 м дороги, что составило 30% месячного плана. Какова длина всей дороги между посёлками?

715. Решите задачу:

1. В книге 240 страниц. В субботу мальчик прочитал 7,5% всей книги, а в воскресенье — на 12 страниц больше. Сколько страниц ему осталось прочитать?
2. Для птицефермы заготовили 2600 т корма. В первый месяц было израсходовано 8,5% корма, а во второй месяц — на 30 т больше. Сколько тонн корма осталось?

716. Найдите значение выражения:

717. Нападающие Коля и Никита во время баскетбольного матча принесли своей команде всех очков. Сколько очков набрала за матч эта команда, если Коля набрал на 7 очков больше, чем Никита?

718. Поезд, идущий со скоростью 68 км/ч, проходит расстояние между городами за 6 ч. Какое время потребуется велосипедисту, чтобы проехать этого расстояния со скоростью 17 км/ч?

719. Получили сплав из куска меди объёмом 15 см³ и куска цинка объёмом 10 см³. Какова масса 1 см³ сплава, если масса 1 см³ меди 8,9 г, а масса 1 см³ цинка 7,1 г? Полученный результат округлите до десятых долей грамма.

720. Кухня в 10 м² составляет 0,4 всех нежилых помещений квартиры. Площадь нежилых помещений составляет площади всей квартиры. Найдите площадь всей квартиры.

721. Вырежьте из плотной бумаги фигуры, изображённые на рисунке 31, и склейте фигуры, изображённые на рисунке 32. Эти фигуры называют призмами. У прямой призмы боковые грани — прямоугольники, а верхнее и нижнее основания — равные многоугольники. На рисунке 32, а изображена треугольная призма, а на рисунке 32,6 — четырёхугольная. Каждый прямоугольный параллелепипед — это четырёхугольная призма.

Рис. 31

Рис. 32

Рассказы об истории возникновения и развития математики

В самых древних дошедших до нас письменных источниках — вавилонских глиняных табличках и египетских папирусах — встречаются не только натуральные числа, но и дроби.

Дроби были нужны, чтобы выразить результат измерения длины, массы, площади в случаях, когда единица измерения не укладывалась в измеряемой величине целое число раз.

Тогда вводили новую, меньшую единицу измерения. Названия этих новых единиц измерения и стали первыми названиями дробей. Например, дробь до сих пор называют «половина»; у римлян слово «унция» сначала было названием двенадцатой доли единицы массы, но потом унция стала обозначать одну двенадцатую долю любой величины (говорили: «Семь унций пути», т. е. семь двенадцатых пути).

В Древнем Вавилоне, как вы знаете, дроби были шестидесятеричными. Используя современные обозначения, число можно было бы записать, например, в виде 4; 52; 03. Это означало: .

И сейчас, когда мы пишем 3 ч 21 мин 47 с, то, по сути дела, записываем доли часа в шестидесятеричной системе счисления:

У египтян были особые знаки для дробей и общий способ записи для долей (т. е. дробей с числителем 1). Все остальные дроби они записывали в виде суммы долей.

Например:

(Подумайте, как можно быстро находить такую сумму.)

Запись дробей с помощью числителя и знаменателя появилась в Древней Греции, только греки знаменатель записывали сверху, а числитель — снизу. Дроби в привычном для нас виде впервые стали записывать индусы около 1500 лет назад, но они не использовали черту между числителем и знаменателем. Черта дроби стала общеупотребительной лишь с XVI в.

В старину применяли в основном обыкновенные дроби. Это объяснялось различными соотношениями между единицами измерения: они делились и на 12, и на 16, и на 40 частей. Но потом было замечено, что самыми удобными для вычислений являются десятичные дроби. С XVII—XVIII вв. они получили всеобщее распространение, особенно после создания и введения в большинстве стран метрической системы мер.