Учебник для 6 класса

Математика

26. Координаты на прямой

Точка О на прямой АВ (рис. 48) разбивает эту прямую на два дополнительных луча — ОА и ОВ. Выберем единичный отрезок и примем точку О за начало отсчёта. Тогда положение точки на каждом из лучей задаётся её координатой. Чтобы отличить друг от друга координаты на этих лучах, условились ставить перед координатами на одном луче знак «+», а перед координатами на другом луче знак «-».

Рис. 48

Числа со знаком «+» называют положительными. Пишут: +1, +5, + , +2, +3,6 — и читают: «Плюс один», «Плюс пять», «Плюс две третьих», «Плюс две целых одна четвёртая», «Плюс три целых шесть десятых» (рис. 49).

Рис. 49

Числа со знаком «-» называют отрицательными. Пишут: - 1, - 5, - , -2, -3,6 — и читают: «Минус один», «Минус пять», «Минус две третьих», «Минус две целых одна четвёртая», «Минус три целых шесть десятых» (рис. 49).

Для краткости записи обычно опускают знак «+» перед положительными числами и вместо +7 пишут 7. Поэтому +7 = 7, +2 = 2. + 6,3 = 6,3, т. е. +7 и 7 — это одно и то же число, только по-разному обозначенное.

Начало отсчёта (или начало координат) — точка О изображает 0 (нуль). Само число 0 не является ни положительным, ни отрицательным. Оно отделяет положительные числа от отрицательных.

Прямые могут находиться в различных положениях. Поэтому дополнительные лучи могут идти не только влево и вправо, но, например, вверх и вниз. Если прямая расположена горизонтально, то обычно положительными считают координаты точек, с расположенных справа от точки О, а отрицательными — координаты точек, расположенных слева от точки О (см. рис. 49). Если прямая расположена вертикально, то положительными считают координаты точек, находящихся выше точки О, а отрицательными — координаты точек, находящихся ниже точки О (рис. 50).

Рис. 50

Положительное направление отмечают стрелкой.

Точка А на рисунках 49 и 50 имеет координату -2. точка В — координату -3,6, а точка С — координату 3,6.

Пишут: А(-2), Б(-3,6), С(3,6).

С координатной прямой мы встречаемся на уроках истории («линия времени»). Шкалу с положительными и отрицательными числами и нулём имеют термометры. Начало отсчёта соответствует температуре таяния льда 0°С. При 100°С закипает вода.

Вопросы для самопроверки

• Что такое координатная прямая?
• Что называют координатой точки на прямой?
• Какими числами являются координаты точек на горизонтальной прямой, расположенных: а) справа от начала координат; б) слева от начала координат?
• Какую координату имеет начало координат?
• Какими числами обозначают координаты точек на вертикальной прямой, расположенных: а) выше начала координат; б) ниже начала координат?

Выполните упражнения

891. Белка вылезла из дупла и бегает по стволу дерева вверх и вниз (рис. 51). Покажите, где будет находиться белка, если она удалится от дупла на 3 м. Сколько ответов можно дать на этот вопрос? Покажите на рисунке, где окажется белка, если она будет находиться:

• а) выше дупла на 2 м;
• б) ниже дупла на 3 м;
• в) ниже дупла на 1,5 м;
• г) выше дупла на 2,5 м.

Рис. 51

892. Поезд вышел со станции Петропавловск (рис. 52) и идёт со скоростью 90 км/ч. В какой город придёт поезд через 3 ч? Где будет находиться поезд:

• а) через 10 ч, если он идёт в Новосибирск;
• б) через 5 ч, если он идёт в Челябинск?

Рис. 52

893. Из спортивного лагеря (рис. 53) выходит группа туристов и движется по шоссе. Покажите, где будут находиться туристы:

• а) через 3 ч, если они идут со скоростью 3 км/ч;
• б) через 2 ч, если они идут со скоростью 4 км/ч.

Что ещё надо знать, чтобы на каждый вопрос был только один ответ?

894. Находясь в походе, туристы побывали в пунктах К, М и Р (см рис. 53). Где по отношению к лагерю находятся эти пункты?

Рис. 53

895. Проведите горизонтальную прямую и отметьте на ней точку О. Отметьте на этой прямой точки А, В, С и К, если известно, что:

• а) А правее О на 6 клеток;
• б) В левее О на 5,5 клетки;
• в) С правее О на 7 клетки;
• г) К левее О на 2 клетки.

896. Измерьте в сантиметрах расстояние от точки О (рис. 54) до точек С и Р. Где на прямой находится каждая из этих точек по отношению к точке О?

Рис. 54

897. Запишите координаты точек О, А, В, С, D, Р, К, М и Е (рис. 55). Начало отсчёта — точка О.

Рис. 55

898. Изобразите на координатной прямой точки А(1), В(8,3), С(-6), D(6), М(-2,4), K(2,4).

899. Треугольный флажок находится в точке с координатой -2, а прямоугольный — в точке с координатой +2 (рис. 56). Отметьте и обозначьте начало отсчёта и единичный отрезок. Запишите координаты точек В, С и D.

Рис. 56

900. Отметьте на координатной прямой точку, имеющую координату х, если x = -7; 3,3; -5,2; -1; 2; -1,8; .

901. Изобразите точкой на координатной прямой число а, если:

902. Найдите по шкале (рис. 57) высоты гор и глубины морей и океанов.

Рис. 57

903. На координатной прямой изображены точки А(-2) и В(7). Найдите расстояние между точками А и В в единичных отрезках.

904. Назовите какие-нибудь три числа, расположенные на координатной прямой:

• а) правее числа 11;
• б) левее числа -8;
• в) левее числа -820;
• г) правее числа -78.

905. Установите на демонстрационном термометре столбик так, чтобы термометр показывал температуру: -12 °С, -11°С, -7°С, +3°С, -8,5 °С, +7,3 °С.

906. На здании Московского университета установлен термометр со стрелкой (рис. 58). Какую температуру показывает этот термометр?

Рис. 58

907. Из чисел -1,2; ; 7,2; -10 и 8 выпишите сначала все отрицательные, а потом все положительные числа.

908. Вычислите устно:

909. Сколько натуральных чисел расположено на координатном луче между числами:

910. Какое из чисел — правильная дробь или дробь, ей обратная, — на координатном луче расположено ближе к единице?

911. Древнегреческий учёный Аристотель родился в 384 г., а умер в 322 г. Пифагор родился в 570 г. и умер в 500 г. Историк Плутарх родился в 46 г., умер в 127 г. Кто из этих учёных родился раньше? Сколько лет прожил каждый из них?

912. Площадь поверхности планеты Меркурий равна 75 млн км² и составляет площади поверхности планеты Венера. Найдите площадь поверхности планеты Венера.

913. Вычислите устно:

914. Найдите значение выражения:

915. Из цифр 7, 8, 3 и 5 составьте четыре различных числа, оканчивающиеся цифрой 7 и кратные 3.

916. На рисунке 59, а изображён цилиндр. Сверху и снизу цилиндр ограничен кругами, которые называются основаниями цилиндра. Развёртка боковой поверхности цилиндра — прямоугольник. На рисунке 59,б изображена развёртка поверхности цилиндра. Попробуйте вычислить площадь поверхности цилиндра, если его высота 5 см, а радиус оснований 2 см.

Рис. 59

917. Решите задачу:

1. На автомобиль погрузили 6 ящиков, 4 коробки и контейнер массой 0,13 т. Масса всего груза 0,73 т, массы ящика и коробки одинаковы. Какова масса одного ящика или одной коробки?
2. На катер погрузили 7 бочонков, б ящиков с рыбой и бочку горючего массой 0,35 т. Масса всего груза 0,61 т. Массы бочонка и ящика одинаковы. Какова масса одного бочонка или одного ящика?
3. Для работников завода построен дом на 240 квартир. Трёхкомнатные квартиры составляют 15% всех квартир и числа однокомнатных квартир. Остальные квартиры двухкомнатные. Сколько в доме двухкомнатных квартир?
4. На лодочной станции было 150 лодок. Трёхместные лодки составляли 14% всех лодок и числа пятиместных лодок. Остальные лодки были четырёхместные. Сколько четырёхместных лодок было на станции?

918. Где по отношению к узлу верёвки находится каждая птица (рис. 60)? (Сторона клетки 1 дм.)

Рис. 60

919. Начертите в тетради горизонтальную прямую и отметьте на ней точку О. Отметьте на этой прямой точки М, N, Р и К, если:

• а) М правее О на 14 клеток;
• б) N левее О на 15 клеток;
• в) Р левее О на 9 клеток;
• г) К правее О на 2 клетки.

Напишите координаты точек М, N, Р и К, если единичный отрезок равен:

• а) длине одной клетки тетради;
• б) длине двух клеток тетради.

920. Отметьте на координатной прямой точки М(-4), N(3), Р(-8,5), К(7,5), С(-6), Т(6).

921. Приняв за единичный отрезок длину 6 клеток тетради, начертите координатную прямую и отметьте на ней точки

922. Начертите шкалу температур от -60 °С до 60 °С, приняв отрезок длиной 1 см за 10 °С. Отметьте на этой шкале точку замерзания ртути (-39°С), нормальную температуру человеческого тела (37°С), точку замерзания бензина (-60 °С), точку кипения ацетона (56 °С), точку замерзания глицерина (-20 °С).

923. Через реку построен мост длиной 234 м. Он состоит из пяти пролётов, четыре из которых имеют одинаковую длину, а пятый на 14 м длиннее каждого из остальных. Какова длина каждого пролёта моста?

924. Экскурсантов можно посадить в лодки или по 4 человека, или по 6 человек. В том и другом случае свободных мест не останется. Сколько было экскурсантов, если их больше 40, но меньше 50?

925. За три дня заготовители собрали 560 кг семян различных деревьев. В первый день они собрали 35% всех собранных семян, что составляло количества семян, собранных во второй день. Сколько килограммов семян было собрано в третий день?