Вычитание отрицательных чисел имеет тот же смысл, что и вычитание положительных чисел: по заданной сумме и одному из слагаемых находят другое слагаемое. Чтобы найти искомое слагаемое, можно прибавить к сумме число, противоположное известному слагаемому.
Например, 8 + 3 = 11, и потому 11 - 8 = 3. Но 11 + (-8) тоже равно 3.
Чтобы из данного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому: а - b = а + (-b).
Любое выражение, содержащее лишь знаки сложения и вычитания, можно рассматривать как сумму.
Разность двух чисел положительна, если уменьшаемое больше вычитаемого, и отрицательна, если уменьшаемое меньше вычитаемого. Если уменьшаемое и вычитаемое равны, то их разность равна нулю.
Задача. Чему равна длина отрезка АВ, если А(-5) и B(9)?
Решение. Длина отрезка АВ показывает, на сколько единичных отрезков надо переместить вправо точку А, чтобы она перешла в точку В, т. е. сколько надо прибавить к числу -5, чтобы получилось число 9. Поэтому если обозначить длину отрезка АВ буквой х, то -5 + х = 9.
Отсюда х = 9 - (-5); х =14.
Значит, длина отрезка равна 14 единичным отрезкам.
Чтобы найти длину отрезка на координатной прямой, надо из координаты его правого конца вычесть координату его левого конца.
Вопросы для самопроверки
Что означает вычитание отрицательных чисел?
Каким действием можно заменить вычитание числа а из числа b? Ответ запишите в виде соответствующего буквенного равенства.
Как найти длину отрезка на координатной прямой?
Выполните упражнения
1087. За день температура воздуха изменилась на -12 °С и к вечеру стала равна -8°С. Какой была температура утром?
1088. Температура воздуха утром была 5°С, а к вечеру она стала равной -2°С. На сколько градусов изменилась температура воздуха за день?
1089. Вчера термометр показывал х°С, сегодня температура понизилась на 12 °С. Какую температуру показывает термометр сегодня, если х = 25; 12; 6; 0? Решите задачу двумя способами: сложением и вычитанием.
1090. Проверьте равенство a - (-b) = a + b, если:
Разность, в которую входят отрицательные числа, читают так: (-7) - (-12)
— разность минус семи и минус двенадцати,
— из минус семи вычесть минус двенадцать,
— от минус семи отнять минус двенадцать.
1091. Выполните вычитание:
1092. Решите уравнение и выполните проверку:
1093. Представьте в виде суммы разность:
а) -28 - (-32);
б) -46 - 30;
в) 50 - (-24);
г) х - 80;
д) -30 - р;
е) 6 - (-а).
1094. Назовите каждое слагаемое в сумме:
а) -8 + х;
б) z - 6;
в) -m - 25;
г) 10 - а + у;
д) -n + 9 - k;
е) -а - b - с.
1095. Составьте сумму из следующих слагаемых:
а) -х; -у; -4,8;
б) 1,5; -а; b; -с;
в) р; -20; 6; -k; 10,3;
г) —7,6; m; -п; -t; -l.
1096. Найдите значение выражения:
а) (62 - 28) - 40;
б) -50 + (37 + 30);
в) -6 - (-8 - 20);
г) -7 - (-12 + 13);
д) 4,1 - (-1,8 + 2,5);
е) (-3,2 + 60) - 0,8;
ж) (14,5 - 85) + 55,5;
з) (-2,1 + 3,7) + 4,4;
и) + 2,5;
к) ;
л) ;
м) -3,15 - .
1097. Найдите расстояние между точками А(а) и В(b), если:
а) а = 2, b = 8;
б) а = -3, b = -5;
в) а = -1, b = 6;
г) а = 5, b = -4;
д) а = 3,2, b = -4,7;
е) а = -8,1, b = -2,5.
1098. Выполните сложение:
1099. Найдите значение выражения:
а) 3,75 + (-2,11) + 1,36;
б) -4,27 + (-3,11) + (-0,62).
1100. Найдите число, противоположное .
1101. Решите уравнение:
1102. Между какими соседними целыми числами расположено число:
1103. Запишите все целые числа, модули которых:
а) меньше 4;
б) больше 4 и меньше 10.
1104. Может ли сумма двух чисел быть меньше:
а) одного из слагаемых;
б) каждого из слагаемых?
Приведите примеры.
1105. Высота конуса 24 см, а площадь основания 15 см2. Какой высоты должен быть цилиндр с такой же площадью основания, чтобы его объём был равен объёму конуса (рис. 88)? Нет ли в задаче лишних данных?
Рис. 88
1106. На пришкольном участке было собрано 360 кг овощей. Картофеля было собрано в 5 раз больше, чем свёклы, а капусты — на 80 кг больше, чем свёклы. Сколько килограммов каждой культуры было собрано?
1107. Решите задачу:
В трёх ящиках 21 кг гвоздей. В первом ящике в раза больше гвоздей, чем во втором. Масса гвоздей третьего ящика составляет массы гвоздей второго ящика. Сколько килограммов гвоздей было в каждом ящике?
В овощеводческом хозяйстве помидоры, огурцы и морковь занимали 560 га. Посевы моркови составляли площади, занятой под огурцами, а под огурцами занято площади, отведённой под помидоры. Как велика площадь, занятая в отдельности помидорами, огурцами и морковью?
1108. Выполните действия:
1110. Найдите значение выражения (а + b) - с, если:
а) а = 2,6, b = -1,4, с = 2,1;
б) а = b = -2,4, с = -3,9.
1111. Отметьте на координатной прямой точки А(-4) и В(9). Найдите расстояние между точками А и В в единичных отрезках.
1112. Найдите расстояние в единичных отрезках между точками:
1113. Найдите значение выражения:
1114. Заполните пустые места таблицы:
1115. Для учащихся было куплено 70 билетов в кукольный театр. В партер было куплено билетов в 1,5 раза больше, чем на балкон и бельэтаж вместе. Число билетов на балкон составило 0,4 от числа билетов в бельэтаж. Сколько билетов каждого вида было куплено?
1116. В альбоме 1105 марок, число иностранных марок составило 30% от числа российских марок. Сколько иностранных и сколько российских марок было в альбоме?
1117. В доме 300 квартир. Однокомнатные квартиры составляют 28% всех квартир дома, а остальные квартиры — двухкомнатные и трёхкомнатные, причём двухкомнатных квартир в 1,7 раза больше, чем трёхкомнатных. Сколько квартир каждого вида в доме?
Рассказы об истории возникновения и развития математики
Складывать и вычытать отрицательные числа научились древнекитайские учёные ещё до нашей эры.
Индийские математики представляли себе положительные числа как «имущества», а отрицательные числа как «долги».
Вот как индийский математик Брахмагупта (VII в.) излагал правила сложения и вычитания: «Сумма двух имуществ есть имущество», «Сумма двух долгов есть долг», «Сумма имущества и долга равна их разности» и т. д. Попробуйте перевести эти древнеиндийские правила на современный язык.