Число 7 делится только на 1 и само на себя. Другими словами, число 7 имеет только два делителя: 1 и 7. У числа 9 три делителя: 1, 3 и 9. Число 18 имеет шесть делителей: 1, 2, 3, 6, 9 и 18.
Такие числа, как 9 и 18, называют составными числами, а такие, как 7, — простыми числами.
Натуральное число называют простым, если оно имеет только два делителя: единицу и само это число. Натуральное число называют составным, если оно имеет более двух делителей.
Число 1 имеет только один делитель: само это число. Поэтому его не относят ни к составным, ни к простым числам.
Первыми десятью простыми числами являются 2,3,5,7,11,13,17, 19, 23, 29. На форзаце учебника приведена таблица простых чисел от 2 до 997.
Число 78 составное, потому что кроме 1 и 78 оно делится, например, ещё на 2. Так как 78 : 2 = 39, то 78 = 2 • 39. Говорят, что число 78 разложено на множители 2 и 39. Любое составное число можно разложить на два множителя, каждый из которых больше 1. Простое число так разложить на множители нельзя.
Вопросы для самопроверки
Какие натуральные числа называют простыми?
Какие натуральные числа называют составными?
Почему число 1 не является ни простым, ни составным?
Выполните упражнения
93. Сколько делителей имеет каждое из чисел: 31, 25, 100?
94. С помощью таблицы простых чисел, помещённой на форзаце учебника, определите, какие из чисел 101, 121, 253, 409, 561, 563, 863, 997 являются простыми, а какие составными.
95. Докажите, что числа 2968, 3600, 888 888, 676 767 являются составными.
96. Может ли произведение двух простых чисел быть:
а) простым числом;
б) составным числом?
97. Может ли площадь квадрата выражаться простым числом, если длина его стороны выражается натуральным числом?
98. Известно, что число m делится на 9. Простым или составным является число m?
99. Разложите на два множителя числа: 38; 77; 145; 159.
100. Сколькими способами можно разложить на два множителя числа 18; 42; 55? Способы, при которых произведения отличаются только порядком множителей, считайте за один способ.
101. Верно ли, что все чётные числа являются составными?
102. Может ли выражаться простым числом объём куба, длина ребра которого выражается натуральным числом?
103. Вычислите устно:
104. Найдите пропущенные числа, если а = 33; 42; 75:
105. Выразите в процентах числа: 0,01; 0,29; 0,8; 1.
106. Выразите в виде десятичных дробей: 2 %, 5 %, 10 %, 20 %, 50 %, 68%, 100%, 130%.
107. Длина и ширина прямоугольного параллелепипеда выражаются натуральным числом сантиметров, а высота равна 15 см. Можно ли утверждать, что объём (в кубических сантиметрах) этого параллелепипеда выражается числом:
а) кратным 2;
б) кратным 3;
в) кратным 5?
108. Сколько нечётных четырёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4?
Решение. На первом месте в записи числа может стоять любая цифра, кроме нуля, — 4 варианта. На втором и на третьем местах — любая из этих пяти цифр. Так как число нечётное, на последнем месте могут быть только цифры 1 или 3 — т. е. имеем ещё два варианта. В соответствии с правилом умножения получаем, что нечётных четырёхзначных чисел можно составить 4 • 5 • 5 • 2 = 200.
109. Какую цифру нужно приписать к числу 10 слева и справа, чтобы получилось четырёхзначное число, делящееся:
а) на 9;
б) на 3;
в) на 6?
110. Выпишите из чисел 215 783, 3 289 775, 21 112 221, 44 856, 555 444, 757 575, 835 743 те, которые:
а) кратны 3;
б) кратны 9;
в) делятся без остатка на 3 и на 5;
г) кратны 9 и 2.
111.
а) Верно ли, что если число оканчивается цифрой 6, то оно делится на 6?
б) Верно ли, что если число делится на 6, то его запись оканчивается цифрой 6?
в) Может ли нечётное число делиться на чётное число?
г) Может ли чётное число делиться на нечётное число?
112. Какие цифры можно поставить вместо звёздочки, чтобы число делилось без остатка на 3 и на 5:
а) 241*;
б) 1734*;
в) 43*5?
113. Стакан вмещает 210 г крупы. Крупой наполнили стакана. Сколько граммов крупы насыпали в стакан?
114. Дочь пообещала: «Я схожу в булочную и вымою посуду». Можно ли обещание считать выполненным, если дочь:
а) вымыла посуду, но не сходила в булочную;
б) сходила в булочную, но не вымыла посуду;
в) и вымыла посуду, и сходила в булочную;
г) не вымыла посуду и не была в булочной?
Подумайте, в чём сходство этой задачи с задачей нахождения решений неравенства 2 < х < 6 среди чисел 1; 3; 5; 7.
115. Докажите, что числа 575, 10 053, 3627, 565 656 являются составными.
116. С помощью таблицы простых чисел, помещённой на форзаце учебника, выберите из чисел 122, 132, 153, 157, 187, 499, 550, 621, 881, 865 и 909 простые числа.
117. Запишите все делители числа 90. Выпишите из них те, которые являются простыми числами.
118. Разложите на два множителя всеми возможными способами числа 30, 33, 42, 99. Способы, при которых произведения отличаются только порядком множителей, считайте за один способ.
119. Периметр прямоугольника 66 дм. Длина одной его стороны составляет периметра. Найдите площадь прямоугольника.
стакана. Сколько граммов крупы насыпали в стакан?
периметра. Найдите площадь прямоугольника.