Учебник для 6 класса

Математика

42. Решение уравнений

Пример 1. Решим уравнение 4 • (х + 5) = 12.

Решение. По правилу отыскания неизвестного множителя имеем х + 5 = 12 : 4, т. е. х + 5 = 3. Это же уравнение можно получить, разделив обе части данного уравнения на 4 или умножив обе части на -1. Теперь легко найти значение х. Имеем х = 3 - 5, или х = -2.

Число -2 является корнем уравнения х + 5 = 3 и уравнения 4 • (х + 5) = 12, так как -2 + 5 = 3 и 4 • (-2 + 5) = 12.

Пример 2. Решим уравнение 2х + 5 = 17.

Решение. По правилу отыскания неизвестного слагаемого имеем 2х = 17 - 5, т. е. 2х = 12. Уравнения 2х + 5 = 17 и 2x = 17 - 5 имеют один и тот же корень 6, так как 2 • 6 + 5 = 17 и 2 - 6 = 17 - 5.

Уравнение 2х = 17 - 5 можно записать так: 2х = 17 + (-5). Видим, что корень уравнения 2х + 5 = 17 не изменяется, если перенести слагаемое 5 из левой части уравнения в правую, изменив его знак на противоположный.

Пример 3. Решим уравнение 5х = 2х + 6 (рис. 93).

Рис. 93

Решение. Вычтем из обеих частей уравнения по 2х (снимем с обеих чашек весов по две буханки хлеба). Получим 5x - 2х = 2х - 2х + 6. Но 2х - 2х = О, значит, 5х - 2х = 6. Это уравнение можно получить из данного, если слагаемое 2х перенести из правой части в левую, изменив его знак на противоположный. Решая дальше уравнение 5х - 2х = 6, получим Зх = 6 и х = 2.

Число 2 есть корень уравнения 5х - 2х = 6 и уравнения 5х = 2х + 6, так как 5 • 2 - 2 • 2 = 6 и 5 • 2 = 2 • 2 + 6.

Пример 4. Решим уравнение х + 12 = х.

Решение. Умножим левую и правую части уравнения на 3 для того, чтобы освободиться от дробного коэффициента. Получим х + 36 = Зх. Перенесём с противоположными знаками слагаемое 36 из левой части в правую, а слагаемое Зх из правой части в левую: х - Зх = -36. Упростим левую часть уравнения: -2х = -36. Теперь разделим обе части уравнения на -2, получим х = 18.

Число 18 является корнем данного уравнения х + 12 = х, так как верно равенство • 18 + 12 = 18.

Во всех рассмотренных примерах мы приводили данные уравнения к виду ах = b, где а ≠ 0.

Уравнение, которое можно привести к такому виду с помощью переноса слагаемых и приведения подобных слагаемых, называют линейным уравнением с одним неизвестным.

Вопросы для самопроверки

• Обе части уравнения умножили на число, не равное 0. Изменились ли корни я данного уравнения?
• Обе части уравнения разделили на одно и то же число, отличное от нуля. Изменились ли корни данного уравнения?
• Сформулируйте правило переноса слагаемых из одной части уравнения в другую.
• Какие уравнения называют линейными?

Выполните упражнения

1314. Перенесите из левой части уравнения в правую то слагаемое, которое не содержит неизвестного:

• а) 8x + 5,9 = 7x + 20;
• б) бх - 8 = -5x - 1,6.

1315. Соберите в левой части уравнения все слагаемые, содержащие неизвестное, а в правой — не содержащие неизвестное:

• а) 15у - 8 = -6у + 4,6;
• б) -16z + 1,7 = 2z - 1.

1316. Решите уравнение:

• а) 6x - 12 = 5x + 4;
• б) -9а + 8 = -10а - 2;
• в) 7m + 1 = 8m + 9;
• г) -12n - 3 = 11n - 3;
• д) 4 + 25у = 6 + 24у;
• е) 11 - 5z = 12 - 6z;
• ж) 4k + 7 = -3 + 5k;
• з) 6 - 2с = 8 - Зс.

1317. С помощью умножения обеих частей уравнения на одно и то же число освободитесь от дробных чисел и решите уравнение:

1318. Решите уравнение и выполните проверку:

• а) -40-(-7х + 5) = -1600;
• б) (-20x - 50) • 2 = 100;
• в) 2,1 • (4 - 6у) = -42;
• г) -3 • (2 - 15x) = -6.

1319. Найдите корень уравнения:

1320. Решите уравнение, используя основное свойство пропорции:

1321. В первом бидоне в 3 раза больше молока, чем во втором. Если из первого перелить 20 л во второй, то молока в бидонах будет поровну. Сколько молока в каждом бидоне?

1322. Длина отрезка АВ на 2 см больше, чем длина отрезка CD. Если длину отрезка АВ увеличить на 10 см, а длину отрезка CD увеличить в 3 раза, то получатся равные результаты. Найдите длину отрезка АВ.

1323. Автобус проходит расстояние от города до села за 1,8 ч, а легковая автомашина — за 0,8 ч. Найдите скорость автобуса, если известно, что она меньше скорости легковой автомашины на 50 км/ч.

1324. На первую автомашину погрузили на 0,6 т зерна больше, чем на вторую. Если бы на первую автомашину погрузили в 1,2 раза больше, а на вторую в 1,4 раза больше, то груза на обеих автомашинах было бы поровну. Сколько тонн груза погрузили на каждую автомашину?

1325. В спортивном лагере прибывших туристов разместили в гостинице, — в летних домиках, а остальных 75 туристов — в палатках. Сколько туристов прибыло в спортивный лагерь?

1326. В школьной библиотеке есть художественная, научно-популярная и справочная литература. Число книг с художественными произведениями составляет всех книг библиотеки, число научно-популярных книг составляет от числа художественных, а остальные 160 книг — справочники. Сколько всего книг в библиотеке?

1327. Три завода получили заказ на изготовление моторов. Первый завод выполнил 0,56 всего заказа, второй — того, что выполнил первый завод, а третий завод изготовил остальные 240 моторов. Сколько всего моторов изготовили все три завода?

1328. Верёвку длиной 63 м разрезали на два куска так, что 0,4 длины первого куска были равны 0,3 длины второго куска. Найдите длину каждого куска верёвки.

1329. На отливку блока объёмом 2,5 м³ требуется 5,5 т бетона. На сколько увеличится расход бетона при отливке блока объёмом 2,9 м³?

1330. В растворе содержится 40% соли. Если добавить 120 г соли, то в растворе будет содержаться 70% соли. Сколько граммов соли было в растворе первоначально?

1331. Вычислите устно:

1332. При каких значениях а верно неравенство:

• а) а < -а;
• б) -а < а;
• в) -а > а?

1333. Приведите подобные слагаемые:

1334. Упростите выражение:

• а) 2х - (х + 1);
• б) n + 2(3n - 1).

1335. Расфасовочная машина может всю привезённую продукцию обработать за 20 ч. Определите:

• а) какую часть всей продукции она обработает за 1 ч;
• б) сколько процентов всей продукции она обработает за 1 ч;
• в) какую часть всей продукции она обработает за 8 ч;
• г) сколько процентов всей продукции она обработает за 9 ч.

1336. За какое время всё свекловичное поле уберёт уборочная машина, если известно, что она за 1 ч убирает: а) 5 % всего поля; б) всего поля; в) 0,4 всего поля?

1337. За какое время двигатель израсходует весь бензин из бака, если он:

• а) за 3 ч расходует 12% всего бензина;
• б) за 3 ч расходует всего бензина;
• в) за 6 ч расходует 0,24 всего бензина?

1338. Докажите, что при любом значении буквы значение выражения:

1. 5 • (7у - 2) - 7 • (5у + 2) равно -24;
2. 4 • (8а + 3) - 8 • (4а - 3) равно 36.

1339. Найдите значение выражения:

1. (503,44 : 12,4 - 225,36 : 7,2) • (1,6905 : 0,49);
2. (971,1 : 23,4 - 211,14 : 6,9) • (6,5704 : 0,86).

1340. Старинная задача.

— Скажи мне, учитель, сколько учеников посещают твою школу и слушают твои беседы.

— Вот сколько, — ответил учитель. — Половина изучает математику, четверть — природу, седьмая часть проводит время в размышлении, и, кроме того, есть ещё три женщины.

1341. Решите уравнение и выполните проверку:

1342. Решите уравнение:

1343. Одно число больше другого в 4,5 раза. Если от большего числа отнять 54, а к меньшему прибавить 72, то получатся равные результаты. Чему равны эти числа?

1344. Бутылка с кефиром в 2 раза тяжелее пустой бутылки (рис. 94). Галя выпила половину бутылки кефира. Сколько граммов кефира выпила Галя?

Рис. 94

1345. У Миши и Коли в коллекциях было одинаковое число марок. Когда Миша подарил часть своих марок младшему брату, а Коля в 1,4 раза меньшее число своих марок отдал на выставку, у Миши осталось 20 марок, а у Коли — 40 марок. Сколько марок было у каждого мальчика первоначально, сколько марок Коли на выставке и сколько марок Миша подарил брату?

1346. На одной полке было в 3 раза больше книг, чем на другой. Когда с одной полки сняли 8 книг, а на другую положили 32 книги, то на полках стало книг поровну. Сколько книг было на каждой полке первоначально?

1347. В двух бочках 725 л бензина. Когда из первой бочки взяли , а из второй бочки бензина, то в обеих бочках бензина стало поровну. Сколько литров бензина было в каждой бочке первоначально?

1348. Решите уравнение, используя основное свойство пропорции:

1349. Смешали индийский и грузинский чай. Индийский чай составил 30% всей смеси. Если в эту смесь добавить ещё 120 г индийского чая, то он будет составлять 45% смеси. Сколько граммов индийского чая было в смеси первоначально?

1350. Поезд шёл 3,5 ч со скоростью 64,4 км/ч. На сколько надо увеличить скорость поезда, чтобы пройти это расстояние за 2,8 ч?

1351. Одна поливочная машина может полить всю улицу за 15 мин, а другая — за 12 мин. Какую часть улицы польют обе машины за 1 мин? за 3 мин?

Рассказы об истории возникновения и развития математики

Среди задач, которые с давних времён приходилось решать людям, много было похожих, однотипных: вычисление площадей участков, нахождение объёмов фигур определённой формы, деление доходов, вычисление стоимости товара, измерение массы с помощью различных единиц и другие.

Для однотипных задач в разное время, в разных странах пытались отыскать общие способы, правила решения, в этих правилах раскрывалось, как найти неизвестную величину через данные числа для группы похожих задач. Так возникла алгебра — один из разделов математики, в котором вначале в основном рассматривалось решение различных уравнений.

Некоторые алгебраические понятия и общие приёмы решения задач знали уже в Древнем Вавилоне и Египте более 4000 лет назад. Большой вклад в создание алгебры внёс выдающийся древнегреческий математик Диофант (III в.), которого по праву считают «отцом алгебры». Диофант умел решать очень сложные уравнения, применял для неизвестных буквенные обозначения, ввёл специальный символ для вычитания, использовал сокращения слов.

В начале нашей эры греческая наука и культура пришли в упадок. Но к тому времени больших успехов в развитии математики достигли индийские учёные. С V по XII в. ими было сделано много открытий, значительно обогатились начала алгебры. Культуру древних индийцев усвоили их соседи — арабы, узбеки, персы, таджики и другие народы. И в IX—XV вв. мировым центром наук становится Средняя Азия, подарившая миру много учёных-математиков. Их труды в дальнейшем оказали большое влияние на развитие науки в Европе.

В 825 г. арабский учёный аль-Хорезми написал книгу «Китаб аль-джебр валь-мукабала», что означает «Книга о восстановлении и противопоставлении». Это был первый в мире учебник алгебры. С этого времени алгебра становится самостоятельной наукой. Само слово «алгебра» произошло от слова «аль-джебр» — восполнение: так аль-Хорезми называл перенос отрицательных слагаемых из одной части уравнения в другую с переменой знака, в дальнейшем большой вклад в развитие алгебры внесли европейские учёные Франсуа Виёт (1540—1603) и Рене Декарт, которые ввели в алгебру буквы и разработали правила действий с буквенными выражениями.