Места в зрительном зале кинотеатра задают двумя числами: первым числом обозначают номер ряда, а вторым — номер кресла в этом ряду (см. рис. на форзаце). При этом места (3; 8) и (8; 3) различны: первое является креслом № 8 в третьем ряду, а второе — креслом № 3 в восьмом ряду.
Подобным образом можно обозначить и положение точки на плоскости. Для этой цели на плоскости проводят две перпендикулярные координатные прямые — х и у, которые пересекаются в начале отсчёта — точке О (рис. 113). Эти прямые называют системой координат на плоскости, а точку О — началом координат. Плоскость, на которой выбрана система координат, называют координатной плоскостью.
Рис. 113
Пусть М — некоторая точка координатной плоскости (рис. 113). Проведём через неё прямую МА, перпендикулярную координатной прямой х, и прямую MB, перпендикулярную координатной прямой у. Так как точка А имеет координату 6, а точка В — координату -5, то положение точки М определяется парой чисел (6; -5). Эту пару чисел называют координатами точки М. Число 6 называют абсциссой точки М, а число -5 называют ординатой точки М. Координатную прямую х называют осью абсцисс, а координатную прямую у — осью ординат.
Точку М с абсциссой 6 и ординатой -5 обозначают так: М(6; -5). При этом всегда на первом месте пишут абсциссу точки, а на втором — её ординату. Если переставить координаты местами, то получится другая точка — N(-5; 6), которая показана на рисунке 113.
Каждой точке М на координатной плоскости соответствует пара чисел: её абсцисса и ордината. Наоборот, каждой паре чисел соответствует одна точка плоскости, для которой эти числа являются координатами. На рисунке 114 показано, как попасть в точку С с координатами (-4; -3): сначала надо пройти по оси х от начала отсчёта влево на 4 единицы, а потом — на 3 единицы вниз.
Рис. 114
В географии положение точек на земной поверхности тоже определяют двумя числами — географическими координатами: широтой и долготой.
Вопросы для самопроверки
Под каким углом пересекаются координатные прямые х и у, образующие систему координат на плоскости? Как называют каждую из этих прямых? Как называют точку пересечения этих прямых?
Как называют пару чисел, определяющих положение точки на плоскости? Как называют первое число? Как называют второе число?
Расскажите, как найти абсциссу и ординату точки на координатной плоскости. Расскажите, как построить точку по её координатам.
Выполните упражнения
1390. По рисунку 115 определите, сколько клеток надо пройти слева направо и сколько — снизу вверх, чтобы попасть из точки О в точки М, К, Р и N.
Рис. 115
1391. Шестиклассники участвовали в спортивной игре. Сначала звено было в точке О (рис. 116). Командир звена получил приказ: «Идите на восток 5 км, а затем на север 4 км». Назовите координаты точки B, в которую должно попасть это звено. Сформулируйте приказы для других звеньев, которые должны попасть из точки О в точки С, D, Е, К, М, N. Назовите координаты этих точек.
Рис. 116
1392. Возьмите географическую карту и назовите широту и долготу городов: Москвы, Киева, Алма-Аты.
Запись М(-2; 7) читают так:
— точка эм с абсциссой минус два и ординатой семь,
— точка эм с координатами минус два и семь,
— координаты точки эм — пара чисел минус два и семь.
1393. Постройте координатные прямые х и у и отметьте точки А(2; 8), В(3; -4), С(-4; 5), D(-3; -7), E(0; 5), М(0; -4), K(6; 0), Р(-7; 0).
1394. Найдите координаты точек А, В, С и D (рис. 117).
Рис. 117
1395. У каких точек на координатной плоскости абсцисса равна нулю? У каких точек равна нулю ордината? Какая точка имеет координаты (0; 0)?
1396. Где расположены на координатной плоскости точки, абсцисса которых равна 4? А где расположены точки, ордината которых равна -1?
1397. Изобразите на координатной плоскости точки А(-2; -2), В(-1; -1), С(0; 0), D(1; 1), Е(2; 2). Проверьте с помощью линейки, лежат ли эти точки на одной прямой и лежит ли на этой прямой точка М(-5; 5).
1398. Постройте на координатной плоскости четырёхугольник ABCD, если А(-10; -2), В(-2; -2), С(-2; -6), D(-10; -6). Является ли он прямоугольником? квадратом? Найдите периметр и площадь этого четырёхугольника, если единичный отрезок равен 1 см. Проведите отрезки АС и BD и найдите координаты точки пересечения Е этих отрезков.
1400. На миллиметровой бумаге (рис. 118) отмечены точки А, В, С, D, Е, F, К и М. Найдите их координаты.
Рис. 118
1401. В координатной плоскости проведена линия (рис. 119). Найдите на этой линии точку;
а) абсцисса которой равна 2; 1,7; -1,2;
б) ордината которой равна 1,8; 2,1; -1,6; -2,5; -3,2.
Рис. 119
1402. Даны точки А(1; 3), В(-1; 4), С(7; -5), D(0; 6). Какие из этих точек расположены:
а) выше оси абсцисс;
б) левее оси ординат?
1403. Вычислите устно:
1404. Что больше: х или х2? х2 или х3?
1405. Найдите все дроби со знаменателем 15, которые больше и меньше 1.
1406. Числа 90 и 100 разделили на одно и то же число. В первом случае получили остаток 18, а во втором случае — остаток 4. Найдите делитель.
1407. Из корзины взяли 6 яблок, затем треть остатка и ещё 6 яблок. После этого в корзине осталась половина первоначального числа яблок. Сколько яблок было в корзине?
1408. Попробуйте найти простой способ для вычисления значения выражения:
1409. Начертите какой-нибудь треугольник ABC. Через вершину С проведите прямую l, параллельную стороне АВ, и прямую m, перпендикулярную стороне АВ.
1410. Найдите длину окружности, радиус которой 7 см; 0,7 см; 0,14 см, приняв π ≈ .
1411. Найдите радиус окружности, длина которой 6,28 мм; 3,14 см; 0,0628 м, приняв π = 3,14.
1412. Вычислите:
1413. Найдите объём и площадь поверхности куба, ребро которого равно: а) 4 см; б) 0,2 м.
1414. Решите уравнение:
0,8 • (9 + 2х) = 0,5 • (2 - 3*);
0,5 • (x + 3) = 0,8 • (10 - х).
1415. Решите задачу:
На заводе производится смена оборудования. После того как 51 станок заменили новыми, осталось заменить ещё 83 % станков. Сколько всего станков на заводе надо было заменить новыми?
Купили пачку бумаги. После того как израсходовали 30 листов, осталось 85% пачки. Сколько листов бумаги было в пачке?
1416. Решите уравнение:
(13,4 - y) • 4,3 - 20,05 = 78,05 + 6,7у;
(16,2 - х) • 3,2 - 50,08 = -8,12 - 5,1x.
1417. Постройте ломаные линии ABCDE и MNK по координатам точек А(-6; 2), В(-4; 6), С(1; 1), D(2; -5), E(8; -1) и М(-5; -5), N(-1; 7), К(8; 4). Найдите координаты точек пересечения ломаных ABCDE и MNK.
1418. Постройте четырёхугольник ABCD по координатам его вершин А(-8; 6), В(6; 5), C(1; -3), D(-7; 1). Найдите координаты точки пересечения отрезков АС и BD.
1419. Отметьте на координатной плоскости точки М(0; 5), N(8; 1), С (2; 2), В(-6; -2). Найдите координаты точки пересечения прямых MN и CD. На какой из этих прямых лежит точка K(0; 1)?
1420. Постройте треугольник AВК по координатам его вершин А(-2; -2), В(1; 5), К(6; -2). Найдите координаты точки пересечения стороны АК с осью ординат.
1421. Решите уравнение:
а) -3,7 • (2,5x - 7,6) = -3,66 + 2,1х;
б) 0,4 • (y - 0,6) = 0,5 • (у - 0,8) + 0,08.
1422. Отметьте точку М и проведите через неё две прямые — m и l — так, чтобы они образовали угол, равный 62°.
1423. Постройте угол COD, равный 50°. Через точку М, лежащую на стороне OD, проведите прямую m, параллельную стороне ОС, а через точку К, лежащую на стороне ОС, проведите прямую n, параллельную стороне OD. Измерьте транспортиром углы, образовавшиеся при пересечении прямых m и n.
.
