Содержание

Главная >> Математика 5 класс. Виленкин

§ 3. Умножение и деление натуральных чисел

14. Упрощение выражений

Выражения (5 + 4) • З и 5 • 3 + 4 • 3 имеют одно и то же значение: (5 + 4) • 3 = 9 • 3 = 27 и 5 • 3 + 4 • 3 = 15 + 12 = 27.

На рисунке 53 видно, почему эти выражения равны.

Для того чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить получившиеся произведения.

Это правило выражает распределительное свойство умножения относительно сложения.

С помощью букв его записывают так:

(а + b)с = ас + bс.

Одинаковые значения имеют и выражения (9 - 5) • 3 и 9 • 3 - 5 • 3, так как (9 - 5) • 3 = 4 • 3 = 12 и 9 • 3 - 5 • 3 = 27 - 15 = 12.

Для того чтобы умножить разность на число, можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе.

Это правило называют распределительным свойством умножения относительно вычитания.

С помощью букв его записывают так:

(а - b)c = ас - bс.

Распределительное свойство умножения позволяет упрощать выражения вида 3а + 7а или 26x - 12x.
Имеем: За + 7а = (3 + 7)а = 10а.
Обычно пишут сразу: За + 7а = 10а (три а да семь а равно десяти а).
26x - 12x = (26 - 12)x = 14x.
Обычно пишут сразу: 26x - 12x = 14x (26 икс минус 12 икс равно 14 икс).

Р е ш и м уравнение Зу + 7у + 25 = 85.

Так как Зу + 7у = 10y, то уравнение можно записать так: 10y + 25 = 85.

Поэтому 10y = 85 - 25, то есть 10у = 60 и у = 60 : 10. Итак, у = 6.

П р о в е р к а: 3 • 6 + 7 • 6 + 25 = 85 — верно.

Для упрощения выражений применяют и сочетательное свойство умножения.

Например, выражение 2у • 7 • 10 заменяют на (2 • 7 • 10)y, то есть на 140у.
Пишут:
2y • 7 • 10 = (2 • 7 • 10)y = 140у.

557. Масса чашки 140 г, а масса блюдца 180 г. Купили 12 чашек с блюдцами. Сколько весит эта покупка? На сколько купленные чашки легче купленных блюдец?

558. За 1 ч работы двигатель расходует 8 л дизельного топлива. До полудня двигатель работал 5 ч, а после полудня 3 ч. Сколько литров дизельного топлива израсходовали за всё это время? На сколько больше израсходовали топлива в первой половине дня, чем во второй?

559. Найдите значение произведения с помощью распределительного свойства умножения:

а) 91 • 8; б) 7 • 59; в) 6 • 52;

г) 198 • 4; д) 202 • 3; е) 397 • 5;

ж) 24 • 11; з) 35 • 12; и)4 • 505; к) 25 • 399.

560. Найдите значение выражения:

а) 69 • 27 + 31 • 27; б) 202 • 87 - 102 • 87; в) 977 • 49 + 49 • 23;

г) 263 • 24 - 163 • 24; д) 438 • 90 - 238 • 90; е) 603 • 7 + 603 • 93.

561. Примените распределительное свойство умножения:

а) (68 + а) • 2; б) (b - 7) • 5;

в) 17(14 - х); г) 13(2 + у).

562. При каких значениях х верно равенство:

а) 3(х + 5) = Зх + 15; б) (3 + 5)х = Зх + 5х; в) (7 + х) • 5 = 7 • 5 + 8 • 5;

г) (х + 2) • 4 = 2 • 4 + 2 • 4; д) (5 - 3)х = 5х - Зх; е) (5 - 3)х = 5х - 3 • 2?

563. Представьте в виде произведения выражение:

а) 23а + 37а; б) 4у + 26у, в) 48x + х;

г) у + 56у; д) 27р - 17р; е) 84b - 80b;

ж) 32 - ; з) 1000 - .

564. Пусть цена 1 кг муки а р., а цена 1 кг сахара 6 р. Что означает выражение:

а) 9а + 9b;     б) 9(а + b);     в) 10b - 10а?

565. Расстояние между двумя сёлами 18 км. Из них выехали в противоположные стороны два велосипедиста. Один проезжает в час m км, а другой — n км. Какое расстояние будет между ними через 4 ч?

566. Найдите значение выражения:

а) 38а + 62а при а = 238; 489;     б) 375b - 1756 при b = 48; 517.

567. Найдите значение выражения:

а) 32x + 32у, если х = 4, у = 26;     б) 11m - 11n, если m = 308, n = 208.

568. Решите уравнение:

а) 4x + 4х = 424; б) 15у - 8у = 714;

в) 9z + z = 500; г) 10 - = 702;

д) 4 + 5 + = 1200; е) 6t + 3t - t = 6400.

569. Найдите, при каком значении буквы:

а) выражение 7х больше 4х на 51;
б) выражение 6р меньше 23р на 102;
в) сумма 8а и За равна 4466;
г) разность 25с и 5с равна 6060.

570. Запишите предложение в виде равенства и выясните, при каких значениях буквы это равенство верно:

а) сумма Зх и 5х равна 96; б) разность 11 у и 2у равна 99; в) Зz больше, чем z, на 48;

г) 27m на 12 меньше, чем 201; д) 8n вдвое меньше, чем 208; е) 380 в 19 раз больше 10р.

571. Составьте по рисунку 54 уравнение и решите его.

572. Чему равны стороны прямоугольника на рисунке 55, если его периметр равен 240 см?

573. Упростите выражение:

а) За + 17 + За + 14;
б) + 35 + + 26.

574. Решите уравнение:

а) 3x + 7х + 18 = 178;
б) 6у - 2у + 25 = 65;
в) 7z + 6z - 13 = 130;
г) 21t - 4t - 17 = 17.

575. Упростите выражение:

а) 6 • 3 •       б) 8 • р • 21;      в) r • 14 • 17.

576. Решите уравнение:

а) 4 • 25 • x = 800;      в) 21 • 8 • р = 168;
б) у • 5 • 20 = 500;      г) m • 3 • 33 = 990.

577. Я задумал число. Если его увеличить на 15, а результат умножить на 8, то получится 160. Какое число я задумал?

578. В книге напечатаны рассказ и повесть, которые вместе занимают 70 страниц. Повесть занимает в 4 раза больше страниц, чем рассказ. Сколько страниц занимает рассказ и сколько повесть?

Р е ш е н и е. Пусть рассказ занимает х страниц, тогда повесть занимает 4х страниц. По условию задачи рассказ и повесть вместе занимают 70 страниц. Получаем уравнение: 4х + х = 70. Отсюда 5х = 70, х = 70 : 5, х = 14. Значит, рассказ занимает 14 страниц, а повесть — 56 страниц (14 • 4 = 56).

П р о в е р к а корня уравнения: 14 + 56 = 70.

579. На уборке картофеля собрали 1650 кг за день. После обеда собрали в 2 раза меньше, чем до обеда. Сколько картофеля собрали после обеда?

580. Для школы купили 220 столов и стульев, причём стульев — в 9 раз больше, чем столов. Сколько столов и сколько стульев купили?

581. Площадь кухни в 3 раза меньше площади комнаты, поэтому для ремонта пола кухни потребовалось на 24 м² линолеума меньше, чем для комнаты. Какова площадь кухни?

582. Точка М делит отрезок АВ на два отрезка: AM и МВ. Отрезок AM длиннее отрезка МВ в 5 раз, а отрезок МВ короче отрезка AM на 24 мм. Найдите длину отрезка AM, длину отрезка МВ и длину отрезка АВ.

583. Для приготовления напитка берут 2 части вишнёвого сиропа и 5 частей воды. Сколько надо взять сиропа, чтобы получить 700 г напитка?

Р е ш е н и е. Пусть масса одной части напитка х г. Тогда масса сиропа 2х г, а масса напитка (2х + 5х) г. По условию задачи масса напитка равна 700 г. Получим уравнение: 2х + 5х = 700. Отсюда 7х = 700, х = 700 : 7 и х = 100, то есть масса одной части равна 100 г. Поэтому сиропа надо взять 200 г (100 • 2 = 200) и воды 500 г (100 • 5 = 500).

П р о в е р к а: 200 + 500 = 700.

584. При помоле ржи получается 6 частей муки и 2 части отрубей. Сколько получится муки, если смолоть 1 т ржи?

585. Чтобы приготовить состав для полировки медных изделий, берут 10 частей воды, 5 частей нашатырного спирта и 2 части мела (по массе). Сколько граммов каждого вещества надо взять, чтобы приготовить 340 г состава?

586. Для приготовления бутылочного стекла берут 25 частей песка, 9 частей соды и 5 частей извести (по массе). Сколько потребуется соды, чтобы изготовить 390 кг стекла?

587. Мороженое содержит 7 частей воды, 2 части молочного жира и 2 части сахара (по массе). Сколько потребуется сахара для приготовления 4400 кг мороженого? 588. На одной стороне улицы вдвое больше домов, чем на другой. Когда на улице построили ещё 12 домов, то всего стало 99 домов. Сколько домов было на каждой стороне улицы?

589. По числовому равенству 3 • 12 + 4 • 12 + 15 • 12 = 264 составьте уравнение, имеющее корень 12 и содержащее три раза букву х. Придумайте задачу по этому уравнению.

590. Вычислите устно:

591. Найдите значение выражения наиболее удобным способом:

а) 125 • 23 • 8;
6)11 • 16 • 125;
в) 19 + 78 + 845 + 81 + 155.

592. Найдите корень уравнения:

а) 45 = 45 + у,
б) 45 - у = 45;
в) у - 45 = 45;
г) 0 = 45 - х.

593. Угадайте корни уравнения:

а) x - 197 = 2945 - 197;
б) у : 89 = 1068 : 89;
в) 365а = 53 • 365.

594. Придумайте задачу по уравнению:

а) За + 2а = 75;
б) с + с + с = 46 + с;
в) m + 5m = 90.

595. При сложении каких чисел может получиться 0? Подумайте, в каких случаях получится число 0 при вычитании, при умножении, при делении.

596. Сумма пяти натуральных чисел равна произведению этих чисел. Какие это числа?

597. Саша любит решать трудные задачи. Он рассказал, что за 4 дня смог решить 23 задачи. В каждый следующий день он решал больше задач, чем в предыдущий, и в четвёртый день решил вчетверо больше, чем в первый. Сколько задач решил Саша в каждый из этих четырёх дней?

598. Код для открывания сейфа состоит из четырёх цифр. Сколько существует различных вариантов кода для этого сейфа?

599. Выполните деление с остатком:

978 : 13;     780 : 24;     4295 : 126.

600. Найдите делимое, если неполное частное 25, делитель 8, остаток 5.

601. Решите уравнение

а) л: : 16 = 324 + 284; б) 1344 : у = 543 - 487; в) z • 49 = 927 + 935;

г) (3724 + р) : 54 = 69; д) 992 : (130 - ) = 8; е) (148 - m) • 31 = 1581.

602. По рисунку 56 составьте уравнение и найдите массу каждого батона. (Масса гирь дана в килограммах.)

603. По рисунку 57 найдите длину отрезка ВС, если AD = 40 см.

604. Периметр треугольника АВС равен 64 см, сторона АВ меньше стороны АС на 7 см, но больше стороны ВС на 12 см. Найдите длину каждой стороны треугольника АВС.

605. В соревнованиях по стрельбе участвовали 12 человек. Сколько патронов получил каждый участник, если потребовалось 8 коробок, по 30 патронов в каждой?

606. Три заготовителя собрали 240 кг лекарственных трав. Первый собрал 87 кг, а первый и второй вместе — 174 кг. Сколько килограммов лекарственных трав собрал второй заготовитель и сколько третий?

607. Решите задачу:

1) Велосипедист ехал 2 ч с некоторой скоростью. После того как он проедет ещё 4 км, его путь станет равным 30 км. С какой скоростью ехал велосипедист?

2) Мотоциклист ехал 3 ч с некоторой скоростью. Если он проедет ещё 12 км, то его путь станет равен 132 км. С какой скоростью ехал мотоциклист?

3) В мешке 20 кг крупы. После того как крупой наполнили несколько пакетов по 3 кг, в мешке осталось 5 кг. Сколько пакетов наполнили крупой?

4) В бидоне 39 л молока. После того как молоком наполнили несколько двухлитровых банок, в бидоне осталось 7 л. Сколько банок наполнили?

608. Найдите значение выражения:

1) 47 040 : 14 : 7 : 32;     3) 46 • 9520 : 68 : 7;
2) 101 376 : 48 : 24 : 8;     4) 319 488 : 96 : 64 • 23.

609. Примените распределительное свойство умножения:

а) 11 • (60 + а);     в) (x - 9) • 24;
б) 21 • (38 - 5);     г) (у + 4) • 38.

610. Найдите значение выражения, применив распределительное свойство умножения:

а) (250 + 25) • 4;     в) 8 • 11 + 8 • 29;
б) 6 • (150 + 16);     г) 36 • 184 + 36 • 816.

611. Найдите значение выражения:

а) (30 - 2) • 5;     в) 85 • 137 - 75 • 137;
б) 7 • (60 - 2);     г) 78 • 214 - 78 • 204.

612. Упростите выражение:

а) 4а + 90а;    б) 86b - 77b;    в) 209m + m;    г) 302n - n.

613. Найдите значение выражения:

а) 24а + 47а + 53а + 76а, если а = 47;
б) 128р - 72р - 28р, если р = 11.

614. Решите уравнение:

а) 14x + 27х = 656;     в) 49z - z = 384;
б) 81у - 38у = 645;     г) 102 - 4 = 1960.

615. При каком значении z сумма 5z и 15z равна 840?

616. Масса одного метра рельса равна 32 кг. Сколько понадобится железнодорожных вагонов грузоподъёмностью 60 т, чтобы перевезти все рельсы, необходимые для постройки одноколейной железной дороги длиной 180 км?

617. В бидоне 36 л молока. Когда из него перелили в другой бидон 4 л, в обоих бидонах молока стало поровну. Сколько литров молока было в другом бидоне?

618. В двух карманах было 28 орехов, причём в левом кармане в 3 раза больше, чем в правом. Сколько орехов было в каждом кармане?

619. Площадь физкультурного зала в 6 раз больше площади классной комнаты. Найдите площадь зала, если она больше площади классной комнаты на 250 м².

620. На складе всего 88 л сока; трёхлитровых банок апельсинового сока столько же, сколько пятилитровых банок яблочного сока. Сколько литров апельсинового сока на складе?

621. Чтобы сделать казеиновый клей, берут 11 частей воды, 5 частей нашатырного спирта и 4 части казеина (по массе). Сколько получится казеинового клея, если на него будет израсходовано нашатырного спирта на 60 г меньше, чем воды?

622. Для приготовления вишнёвого варенья на 2 части вишни берут 3 части сахара (по массе). Сколько вишни и сколько сахара пошло на варенье, если сахара пошло на 7 кг 600 г больше, чем вишни?

623. С двух яблонь собрали 67 кг яблок, причём с одной яблони собрали на 19 кг больше, чем с другой. Сколько килограммов яблок собрали с каждой яблони?

624. Из 523 цыплят, выведенных в инкубаторе, петушков оказалось на 25 меньше, чем курочек. Сколько курочек и сколько петушков было выведено в инкубаторе?

625. Найдите значение выражения:

а) 5007 • (11 815 : 85 - (4806 - 4715));
б) 6003 • (24 396 : 76 - 319 + 26);
в) 213 213 : (403 -36 - 14 469);
г) 7866 : 38 - 16 146 : 78.

626. Разгадайте чайнворд, помещённый на форзаце в конце учебника.