Содержание

Главная >> Математика 5 класс. Виленкин

§ 3. Умножение и деление натуральных чисел

16. Степень числа. Квадрат и куб числа

Мы знаем, что сумму, в которой все слагаемые равны друг другу, можно записать короче — в виде произведения. Например, вместо З + З + З + З + З пишут 3 • 5. В этом произведении число 5 показывает, сколько слагаемых было в сумме.

Произведение, в котором все множители равны друг другу, тоже записывают короче: вместо 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 пишут 2⁶. Запись ²⁶ читают «два в шестой степени». В этой записи число 2 называют основанием степени, число 6, которое показывает, сколько множителей было в произведении, — показателем степени, а выражение 2⁶ называют степенью.

Пример 1. Запишем произведения в виде степени и найдём их значения:

3 • 3 • 3 • 3 = З⁴ = 81;
5 • 5 • 5 = 5³ = 125;
2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 2⁶ = 64.

Вторую степень числа часто называют иначе. Произведение 3 • 3 называют квадратом числа 3 и обозначают З².

Произведение n и n называют квадратом числа n и обозначают n² (читают: «эн в квадрате»). Итак, n² = n • n.

Например, 17² = 17 • 17 = 289.

Таблица квадратов первых 10 натуральных чисел имеет следующий вид:

Третья степень числа также имеет и иное название. Произведение 4 • 4 • 4 называют кубом числа 4 и обозначают 4³.

Произведение n • n • n называют кубом числа n и обозначают n³ (читают: «эн в кубе»).

Итак, n³ = n • n • n.

Например, 83 = 8 • 8 • 8 = 64 • 8 = 512.

Таблица кубов первых 10 натуральных чисел имеет вид:

Первую степень числа считают равной самому числу:

7 ¹ = 7,      16 ¹ = 16,      1 ¹ = 1.

Показатель степени 1 обычно не пишут.

Если в числовое выражение входят степени чисел, то их значения вы числяют до выполнения остальных действий.

Пример 2. Найдём значение выражения (4 + З)² • 5² - 8³ + 2⁶.
Р е ш е н и е.
(4 + З)² • 5² - 8³ + 2⁶ = 7² • 25 - 512 + 64 =
= 49 • 25 - 512 + 64 = 1225 - 512 + 64 = 777.

652. Составьте таблицу квадратов чисел от 11 до 20.

653. Представьте в виде степени произведение:

а) 6 • 6 • 6 • 6 • 6 • 6 • 6; б) 25 • 25 • 25 • 25 • 25; в) 73 • 73; г) 11 • 11 • 11 • 11; д) 9 • 9 • 9; е) m • m • m • m • m • m;

ж) х • х • х; з) у • у • у • у • у • у • у • у; и) • ; к) n • n • n • n • n; л) (x + 1)(х + 1)(x + 1); м) (7 - n)(7 - n).

654. Представьте в виде произведения степень:

а) 75; б) 124; в) 153; г) 10002;

д) 607; е) n9; ж) 3; з) а8;

и) х2; к) (m + 2)4; л) (а - 7)2; м) (х + у)3.

655. Найдите значения: 25²; 100²; 10³; 11³; 12³; 15³.

656. Найдите значения степеней: 2⁵; 10⁶; 1²⁰; З⁴; 41¹; 4⁴.

657. Найдите значение выражения:

а) З2 • 18; б) 5 + 42; в) (5 + 4)2; г) 52 + 42;

д) 7 + 43; е) 73 + 4; ж) (7 + 4)3; з) (73 - 43) : (7 - 4);

и) 52 • 23; к) 25 + З4; л) (30 : З)5 - 1003; м) (102 - 26) : 6 + 110.

658. Пользуясь таблицами квадратов и кубов чисел, найдите значение n, если:

121 = n²;     n² =196;     n² = 10 000;     125 = n³;     n³ = 512.

660. Угадайте корни уравнения:

а) х • х = 25;     в) а • а = 1;
б) у • у = 81;     г) b • b • b = 0.

661. Какие цифры заменены звёздочками?

Подумайте, какие уравнения пришлось решать для нахождения неизвестных цифр.

662. Каков порядок выполнения действий при вычислении значения выражения:

а) 160 + 37 - 20;     6)90 - 60:15;     в) 80 - 15 + 25?

Если возможно, укажите другой порядок действий, приводящий к тому же результату.

663. Составьте выражение по следующей программе:

1. Разделить 58 344 на 429.
2. 215 умножить на 48.
3. Сложить результаты команд 1 и 2.

Найдите значение получившегося выражения.

664. Составьте схему вычисления выражения:

(39 • 71 + 25 • 95) - (248 : 4 - 176 : 11).

665. Решите задачу:

1) Сумма двух чисел 549. Одно из них в 8 раз больше другого. Найдите эти числа.
2) Сумма двух чисел 378. Одно из них в 8 раз меньше другого. Найдите эти числа.
3) Разность двух чисел 342. Одно из них в 7 раз меньше другого. Найдите эти числа.
4) Разность двух чисел 516. Одно из них в 7 раз больше другого. Найдите эти числа.

666. Найдите значения: 18²; 5³; 13²; 20³; 40²; 30³.

667. Найдите значения: 2⁴; 3³; 10⁵; 1¹²; 100⁴; 20⁶.

668. Найдите значение выражения:

а) 92 + 19; б) 172 - 209; в) 63 : 3; г) 23 • З2; д) (15 - 7)2 : 23;

е) (17 - 16)8 + 25; ж) 106 - 204; з) З4 • 104; и) 54 : 52.

669. Из Москвы и Ростова-на-Дону одновременно вышли навстречу друг другу два поезда. Поезд из Москвы шёл со скоростью 65 км/ч, а поезд из Ростова-на-Дону — со скоростью на 7 км/ч меньшей. На каком расстоянии друг от друга будут поезда через 6 ч после начала движения, если расстояние между Москвой и Ростовом-на-Дону 1230 км?

670. С двух станций, расстояние между которыми 720 км, вышли одновременно навстречу друг другу два поезда. Скорость первого поезда 75 км/ч, а скорость второго на 10 км/ч больше. На каком расстоянии друг от друга будут поезда через 4 ч?

671. Составьте программу вычислений для нахождения значения выражения

67 392 : (3504 - 3408) + 19 232 : 601

и изобразите её схемой. Найдите значение выражения.

672. Выполните действия:

14 • (3600 • 18 - 239 200 : 46).

673. Попробуйте рассказать, что это за свойство. Проверьте, выполняется ли оно для квадратов нескольких следующих чисел.