Содержание

Главная >> Математика 5 класс. Виленкин

§ 4. Площади и объёмы

21. Объёмы. Объём прямоугольного параллелепипеда

Если наполнять формочку влажным песком, а потом переворачивать и снимать её, получатся фигуры, имеющие одинаковый объём (рис. 83). Если формочку наполнять водой, то объём воды будет равен объёму каждой фигуры из песка.

Чтобы сравнить объёмы двух сосудов, можно наполнить один из них водой и перелить её во второй сосуд. Если второй сосуд окажется заполненным, а воды в первом сосуде не останется, то объёмы сосудов равны. Если в первом сосуде вода останется, то его объём больше объёма второго сосуда. А если заполнить водой второй сосуд не удастся, то объём первого сосуда меньше объёма второго.

Для измерения объёмов применяют следующие единицы: кубический миллиметр (мм³), кубический сантиметр (см³), кубический дециметр (дм³), кубический метр (м³), кубический километр (км³).

Например: кубический сантиметр — это объём куба с ребром 1 см (рис. 84).

Кубический дециметр называют также литром. 1 л = 1 дм³

Фигура на рисунке 85 состоит из 4 кубиков с ребром 1 см. Значит, её объём равен 4 см³.

Выведем правило для вычисления объёма прямоугольного лараллелепипеда. Пусть прямоугольный параллелепипед имеет длину 4 см, ширину 3 см и высоту 2 см (рис. 86, а). Разобьём его на два слоя толщиной 1 см

(рис. 86, б). Каждый из этих слоёв состоит из 3 столбиков длиной 4 см (рис. 86, в), а каждый столбик — из 4 кубиков с ребром 1 см. (рис. 86, г). Значит, объём каждого столбика равен 4 см³, каждого слоя — 4 • 3 ( см³), а всего прямоугольного параллелепипеда — (4 • 3) • 2, то есть 24 см³.

Чтобы найти объём прямоугольного параллелепипеда, надо его длину умножить на ширину и на высоту.

Формула объёма прямоугольного параллелепипеда имеет вид

V = abc.

где V — объём; а, b, с — измерения.

Если ребро куба равно 4 см, то объём куба равен 4 • 4 • 4 = 4³ (см³), то есть 64 см³.

Если ребро куба равно а, то объём V куба равен a • a • a = a³

Значит, формула объёма куба имеет вид

V = а³.

Именно поэтому запись а³ называют кубом числа а.

Объём куба с ребром 1 м равен 1 м³. А так как 1 м = 10 дм, то 1 м³ = 103 дм³, то есть 1 м³ = 1000 дм³ = 1000 л. Таким же образом находим, что

1 л = 1 дм³ = 1000 см³; 1 см³ = 1000 мм³;
1 км³ = 1 000 000 000 м³ (см. форзац).

819. Из кубиков с ребром 1 см составлены фигуры (рис. 87). Найдите объёмы и площади поверхностей этих фигур.

820. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, если:

а) а = 6 см,    b = 10 см,    с = 5 см;
б) а = 30 дм,    b = 20 дм,    с = 30 дм;
в) а = 8 дм,    b = 6 м,    с = 12 м;
г) а = 2 дм 1 см,    b = 1 дм 7 см,    с = 8 см;
д) а = 3 м,    b = 2 дм,    с = 15 см.

821. Площадь нижней грани прямоугольного параллелепипеда равна 24 см². Определите высоту этого параллелепипеда, если его объём равен 96 см³.

822. Объём комнаты равен 60 м³. Высота комнаты 3 м, ширина 4 м. Найдите длину комнаты и площади пола, потолка, стен.

823. Найдите объём куба, ребро которого 8 дм; 3 дм 6 см.

824. Найдите объём куба, если площадь его поверхности равна 96 см².

825. Выразите:

а) в кубических сантиметрах: 5 дм³ 635 см³; 2 дм³ 80 см³;
б) в кубических дециметрах: 6 м³ 580 дм³; 7 м³ 15 дм³;
в) в кубических метрах и дециметрах: 3270 дм³; 12 540 000 см³.

826. Высота комнаты 3 м, ширина 5 м и длина 6 м. Сколько кубических метров воздуха находится в комнате?

827. Длина аквариума 80 см, ширина 45 см, а высота 55 см. Сколько литров воды надо влить в этот аквариум, чтобы уровень воды был ниже верхнего края аквариума на 10 см?

828. Прямоугольный параллелепипед (рис. 88) разделён на две части. Найдите объём и площадь поверхности всего параллелепипеда и обеих его частей. Равен ли объём параллелепипеда сумме объёмов его частей? Можно ли это сказать о площадях их поверхностей? Объясните почему.

829. Вычислите устно:

830. Восстановите цепочку вычислений:

831. Найдите значение выражения:

а) 23 + З2; б) З3 + 52; в) 43 + 6; г) 103 - 10.

832. Сколько десятков получится в частном:

а) 1652 : 7; в) 1632 : 12;
б) 774:6; г) 2105 : 5?

833. Согласны ли вы с утверждением:

а) любой куб является и прямоугольным параллелепипедом;
б) если длина прямоугольного параллелепипеда не равна его высоте, то он не может быть кубом;
в) каждая грань куба — квадрат?

834. Четыре одинаковые бочки вмещают 26 вёдер воды. Сколько вёдер воды могут вместить 10 таких бочек?

835. Сколькими способами из 7 бусинок разных цветов можно составить ожерелье (с застёжкой)?

836. Назовите в прямоугольном параллелепипеде (рис. 89):

а) две грани, имеющие общее ребро;
б) верхнюю, заднюю, переднюю и нижнюю грани;
в) вертикальные рёбра.

837. Решите задачу:

1) Найдите площадь каждого участка, если площадь первого участка в 5 раз больше площади второго, а площадь второго на 252 га меньше площади первого.
2) Найдите площадь каждого участка, если площадь второго участка на 324 га больше площади первого участка, а площадь первого участка в 7 раз меньше площади второго.

838. Выполните действия:

1) 668 • (3076 + 5081);
2) 783 • (66 161 - 65 752);
3) 2 111 022 : (5960 - 5646);
4) 2 045 639 : (6700 - 6279).

839. На Русы в старину использовались в качестве единиц измерения объёма ведрó (около 12 л), штоф (десятая часть ведра), в США, Англии и других странах используются бáррель (около 159 л), галлóн (около 4 л), бу́шель (около 36 л), пи́нта (от 470 до 568 кубических сантиметров). Сравните эти единицы. Какие из них больше 1 м³?

840. Найдите объёмы фигур, изображённых на рисунке 90. Объём каждого кубика равен 1 см³.

841. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда (рис. 91).

842. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, если его измерения — 48 дм, 16 дм и 12 дм.

843. Сарай, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, заполнен сеном. Длина сарая 10 м, ширина 6 м, высота 4 м. Найдите массу сена в сарае, если масса 10 м³ сена равна 6 ц.

844. Выразите в кубических дециметрах:

2 м³ 350 дм³; 18 000 см³;
3 м³ 7 дм³; 210 000 см³,
4 м³ 30 дм³;

845. Объём прямоугольного параллелепипеда 1248 см3. Его длина 13 см, а ширина 8 см. Найдите высоту этого параллелепипеда.

846. С помощью формулы V = abc вычислите:

а) V, если а - 3 дм,    b = 4 дм, с = 5 дм;
б) а, если V = 2184 см³,    b = 12 см, с = 13 см;
в) b, если V = 9200 см³,    а = 23 см, с = 25 см;
г) аb, если V = 1088 дм³,    с = 17 см.

Каков смысл произведения аb?

847. Отец старше сына на 21 год. Запишите формулу, выражающую а — возраст отца — через b — возраст сына. Найдите по этой формуле:

а) а, если b = 10; б) а, если b = 18; в) b, если а = 48.

848. Найдите значение выражения:

а) 700 700 - 6054 • (47 923 - 47 884) - 65 548;
б) 66 509 + 141 400 : (39 839 - 39 739) + 1985;
в) (851 + 2331) : 74 - 34;
г) (14 084 : 28 - 23) • 27 - 12 060;
д) (10² + 11² + 12²) : 73 + 895;
е) 2555 : (13² + 14²) + 35.

849. Подсчитайте по таблице (рис. 92):

а) сколько раз встречается цифра 9;
б) сколько всего раз в таблице встречаются цифры 6 и 7 (не считая их по отдельности);
в) сколько всего раз встречаются цифры 5, 6 и 8 (не считая их по отдельности).